Normálneho smrteľníka vyľaká už samotný časopriestor (veď je štvorrozmerný!). A keď si má predstaviť, že sa to niečo už doteraz nepredstaviteľné sa má ešte akosi zakriviť, väčšinou sa rýchlo rozhodne pre životnú púť, ktorá bude v bezpečnej vzdialenosti od týchto nanajvýš podozrivých táranín. A krivosť v probléme padajúcej mačky je v istom zmysle ešte abstraktnejšia, ako tá časopriestorová. Kde sa to celé nabralo?
Ako to už chodí, takéto abstraktné pojmy sa vyvinuli z celkom jednoduchých a názorných predstáv (aj pozorovanie, že syn sa občas nápadne podobá na poštára, tu bolo ešte pred DNA). Skúmali sa obyčajné krivky v rovine či krivky a plochy v obyčajnom trojrozmernom priestore a len postupne sa odhaľovali fakty, ktoré umožnili ísť ďalej a ďalej, až k tým zakriveným časopriestorom. A prípadne aj ešte ďalej.
.krivosť rovinných kriviek
Skúsme sa zamyslieť nad tým, ako by sa dal číselne charakterizovať fakt, že nejaká krivka v rovine (na rovnom papieri) je v danom bode krivá. Inými slovami, ako sa dá zaviesť krivosť krivky v jej danom bode. Bolo by iste fajn, keby sme dostali niečo, čo pre priamku dá všade nulu (tá je predsa všade rovná) a pre kružnicu všade rovnaké číslo, ktoré je pre malú kružnicu veľké a pre veľkú malé (obrovská kružnica je všade takmer rovná, maličká riadne ohnutá). Dalo by sa to takto:
Nakreslíme si tú krivku na plochu letiska a pôjdeme presne po nej autom. Cítime, že nás čosi tlačí do bočných dverí, prípadne opačne (je to odstredivá sila, ktorú si pamätáme zo školy). Keď nás tlačí do pravých dverí, zatáčame doľava a naopak. A keď nás tlačí veľmi, ideme do prudkej zákruty. Keby sme odmerali silu, akou nás to práve teraz tlačí, mohla by byť mierou prudkosti zákruty čiže krivosti tej krivky v danom bode. Je to naozaj dobrý nápad, treba ho už len vylepšiť v dvoch bodoch.
Po prvé, tá sila je úmerná našej hmotnosti a tá s prudkosťou zákruty nesúvisí. Riešenie: budeme ju merať na človeku s hmotnosťou 1kg. Po druhé, keď ideme do zákruty rýchlo, tlačí nás do dverí viac. Preto budeme silu merať počas jazdy rýchlosťou 1m/s. Teraz už tá sila naozaj závisí len a len od prudkosti zákruty v danom bode.
Otestujme si to na dvojakých krivkách: na rôzne veľkých kružniciach a na sínusovke.
Na kružniciach najprv overíme očakávaný fakt, že ak je polomer kružnice veľmi veľký, netlačí nás to skoro vôbec, ak veľmi malý, tlačí to silno. Tlačenie postupne rastie, teoreticky od nuly (pre nekonečnú kružnicu) do nekonečna (pre kružnicu s nulovým polomerom).
Vžime sa teraz do jazdy po sínusovke. Bude nás tlačiť raz doľava, raz doprava a aj veľkosť toho tlačenia bude kolísať od nejakého maxima po nulu. Spolu s predchádzajúcimi pokusmi s kružnicami to však znamená toto: pre každý bod na sínusovke vieme zadať taký polomer kružnice, že na tej (a nijakej inej) kružnici BY nás tlačilo presne tak, ako nás práve teraz tlačí na sínusovke. A toto neplatí len pre sínusovku, ale pre akúkoľvek krivku v rovine. Každý bod každej (nezalomenej) krivky sa tak charakterizuje číslom, polomerom fiktívnej kružnice, jazdou po ktorej by sme cítili presne rovnakú silu. No a krivosťou tej krivky v danom bode napokon nenazveme ten polomer, ale jeho prevrátenú hodnotu. To prevrátenie zariadi, aby boli prudké zákruty charakterizované veľkým číslom a mierne malým.
.krivosť dvojrozmerných plôch
Pojem krivosti dvojrozmernej plochy sa bude odvíjať od už známeho pojmu krivosti rovinnej krivky. Ale kde tam tie rovinné krivky naberieme? Urobíme to takto: V danom mieste plochy zapichneme kolmo na ňu špendlík. Vyberieme nejakú rovinu, v ktorej celý ten špendlík leží. (Je ich nekonečne veľa, vyberieme si jednu.) Prienik tejto roviny a uvažovanej plochy je rovinná krivka. (Leží v tej rovine, ktorú sme vybrali.) Táto krivka má v bode vpichu špendlíka svoju krivosť.
Teraz tú rovinu začneme okolo špendlíka otáčať. (Získame tak postupne všetky iné roviny, ktoré sme si mohli vybrať hneď na začiatku.) V každej polohe dostávame príslušnú krivosť. Je asi jasné, že sa dá nájsť natočenie, v ktorom je tá krivosť najvyššia a iné natočenie, keď je najnižšia zo všetkých získaných. Tieto dve krivosti si zapamätáme a budeme ich volať hlavné krivosti plochy v tom bode.
Ako ilustráciu zoberme sféru (povrch gule) a jej model – glóbus. Ako bod vpichu zoberme severný pól. Potom počiatočnou rovinou je rovina, v ktorej leží nejaký konkrétny poludník a prienik so sférou je práve ten poludník. Jeho krivosť je prevrátená hodnota polomeru glóbusu. Krivosti pre všetky poludníky sú tu zhodou okolností rovnaké (sféra je veľmi špeciálna plocha), takže najnižšia hodnota = najvyššia hodnota. Hlavné krivosti sú tu teda rovnaké a nenulové.
Ak by sme urobili to isté pre obyčajnú rovinu, ako prieniky by sme dostali priamky. Tie treba chápať ako kružnice s nekonečným polomerom a prevrátenú hodnotu ako nulu. Hlavné krivosti sú tu teda pre rovinu obe nulové.
Napokon na povrchu valca by bola jedna krivosť nulová (za priamku pozdĺž valca) a druhá nenulová (prevrátená hodnota polomeru valca).
.dve rôzne krivosti plochy
Zatiaľ je plocha v každom bode charakterizovaná dvoma číslami, hlavnými krivosťami. Ukazuje sa, že v drvivej väčšine situácií, v ktorých by sa zakrivenie plochy malo nejako prejaviť, sa v skutočnosti neobjavia samotné hlavné krivosti, ale len ich dve kombinácie, a to ich súčin alebo súčet. Preto zavedieme nové dve krivosti. Jedna z nich sa volá Gaussova (súčin hlavných krivostí) a druhá stredná (ich priemer čiže polovica súčtu hlavných krivostí). A na tie hlavné už zabudneme.
Krivá plocha by zrejme mala mať nenulovú krivosť. Lenže krivosti sú zrazu až dve a je možné, že nejaká plocha je krivá v jednom zmysle a nekrivá v druhom. Pozrime sa na naše tri plochy: rovinu, valec a sféru. Ak si spomenieme na výsledky pre hlavné krivosti, dostávame z nich toto: rovina má obe krivosti (strednú aj Gaussovu) nulové, valec má strednú krivosť nenulovú a Gaussovu nulovú a sféra ich má nenulové obe.
Rovina je v oboch zmysloch nekrivá, sféra je v oboch krivá. To by nás nemuselo prekvapiť – veď ,,pozriem a vidím". Pozoruhodný je ale valec. Laický pohľad hovorí, že je krivý. Veda hovorí, že v jednom zmysle krivý je a v druhom nie! Nie je krivý v Gaussovom zmysle. Čo je za tým?
.theorema egregium
Pripomeňme si, že na zavedenie oboch krivostí, Gaussovej aj strednej, sme využívali trojrozmerný priestor, v ktorom bola tá dvojrozmerná plocha uložená. Veď špendlík trčí kolmo na plochu, a to chce pridať k dvom rozmerom plochy aj tretí rozmer, aby mal kam trčať. No a bez špendlíka nemáme hlavné krivosti a bez nich nemáme ich súčin čiže Gaussovu krivosť. A ani ich súčet, teda ani strednú krivosť.
Alebo, žeby nie? Gauss, matematická hviezda prvej veľkosti prvej polovice 19. storočia zistil (zložito), že na súčin hlavných krivostí v skutočnosti vôbec nepotrebuje tretí rozmer! (Na súčet ho ale treba.) Hodnotu tohto súčinu bol schopný vyrátať z čisto dvojrozmernej geometrie na ploche, aj keď samotné hlavné krivosti sa takto vyrátať nedajú. Keď mu došlo, akú hlbokú vec odhalil, bol z toho taký nadšený, že to pomenoval Theorema Egregium, čo znamená pozoruhodná (vynikajúca, skvelá) veta.
Podľa tejto vety na výpočet Gaussovej krivosti valca stačí geometria na valci. Súčasne sme pre ňu (ináč) dostali nulu, teda to isté, čo pre rovinu. Počítaním len na valci teda nevieme odlíšiť valec od roviny! Napríklad ak vytvoríme na hodinách rovinnej geometrie integrovanú výučbu pre dvojrozmerné deti z valca spolu s našimi deťmi, deti z valca neskončia na VÚP (valcovom úrade práce). Učia sa rozumné veci do života na valci. Napríklad, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov.
Ak by sme však do spoločnej triedy pridali aj dvojrozmerné deti zo sféry a tie by po návrate využívali poučku o súčte uhlov, spadol by im (obrazne) prvý most, ktorý by postavili. Tam totiž ľahko nájdeme trojuholník, pre ktorý to neplatí. (Jeho vrcholy: severný pól a dva body na rovníku vo vzdialenosti štvrtiny jeho obvodu; súčet je 270 stupňov.) A takýchto dôležitých rozdielov je viac. Príbuznosť valca a roviny (rovnaké Gaussove krivosti) a nepríbuznosť sféry a roviny odhalíme napríklad aj tak, že (pôvodne rovinnú) etiketu pekne nalepíme na fľašu (valec), ale na biliardovú guľu sa nám to (pekne) nepodarí.
.zvonku a zvnútra
Ukazuje sa, že Gaussova krivosť je výpoveď o ,,vnútornej" geometrii plochy. Tej geometrii, ktorú sa učia pre praktický život príslušnoplošné dvojrozmerné deti v príslušnoplošnej dvojrozmernej škole. Stredná krivosť nás zase informuje o ,,vonkajšej" geometrii plochy (ako sa javí nám po vymodelovaní v troch rozmeroch). Valec sa nám ,,zvonka" javí ako krivý, lebo má nenulovú strednú krivosť. Jeho (dvojrozmerným) obyvateľom, t. j. ,,zvnútra", sa ale ako krivý nejaví, lebo má nulovú Gaussovu krivosť. Sféra sa javí ako krivá aj nám, aj jej obyvateľom.
Tú "vnútornú" Gaussovu krivosť geniálne zovšeobecnil na viacej rozmerov o generáciu mladší a nemenej hviezdny Riemann. Jeho (už podstatne zložitejší) pojem krivosti, použitý v štvorrozmernom časopriestore, je alfou a omegou v Einsteinovej teórii gravitácie.
Tá "vonkajšia" stredná krivosť sa prejavuje v obyčajnom svete okolo nás. Na odvážnych strechách odvážnych architektov či na kvapkách a mydlových bublinách. Ale o kvapkách a bublinách si pohovoríme až v ďalšom článku.
.autor je fyzik.
Ako to už chodí, takéto abstraktné pojmy sa vyvinuli z celkom jednoduchých a názorných predstáv (aj pozorovanie, že syn sa občas nápadne podobá na poštára, tu bolo ešte pred DNA). Skúmali sa obyčajné krivky v rovine či krivky a plochy v obyčajnom trojrozmernom priestore a len postupne sa odhaľovali fakty, ktoré umožnili ísť ďalej a ďalej, až k tým zakriveným časopriestorom. A prípadne aj ešte ďalej.
.krivosť rovinných kriviek
Skúsme sa zamyslieť nad tým, ako by sa dal číselne charakterizovať fakt, že nejaká krivka v rovine (na rovnom papieri) je v danom bode krivá. Inými slovami, ako sa dá zaviesť krivosť krivky v jej danom bode. Bolo by iste fajn, keby sme dostali niečo, čo pre priamku dá všade nulu (tá je predsa všade rovná) a pre kružnicu všade rovnaké číslo, ktoré je pre malú kružnicu veľké a pre veľkú malé (obrovská kružnica je všade takmer rovná, maličká riadne ohnutá). Dalo by sa to takto:
Nakreslíme si tú krivku na plochu letiska a pôjdeme presne po nej autom. Cítime, že nás čosi tlačí do bočných dverí, prípadne opačne (je to odstredivá sila, ktorú si pamätáme zo školy). Keď nás tlačí do pravých dverí, zatáčame doľava a naopak. A keď nás tlačí veľmi, ideme do prudkej zákruty. Keby sme odmerali silu, akou nás to práve teraz tlačí, mohla by byť mierou prudkosti zákruty čiže krivosti tej krivky v danom bode. Je to naozaj dobrý nápad, treba ho už len vylepšiť v dvoch bodoch.
Po prvé, tá sila je úmerná našej hmotnosti a tá s prudkosťou zákruty nesúvisí. Riešenie: budeme ju merať na človeku s hmotnosťou 1kg. Po druhé, keď ideme do zákruty rýchlo, tlačí nás do dverí viac. Preto budeme silu merať počas jazdy rýchlosťou 1m/s. Teraz už tá sila naozaj závisí len a len od prudkosti zákruty v danom bode.
Otestujme si to na dvojakých krivkách: na rôzne veľkých kružniciach a na sínusovke.
Na kružniciach najprv overíme očakávaný fakt, že ak je polomer kružnice veľmi veľký, netlačí nás to skoro vôbec, ak veľmi malý, tlačí to silno. Tlačenie postupne rastie, teoreticky od nuly (pre nekonečnú kružnicu) do nekonečna (pre kružnicu s nulovým polomerom).
Vžime sa teraz do jazdy po sínusovke. Bude nás tlačiť raz doľava, raz doprava a aj veľkosť toho tlačenia bude kolísať od nejakého maxima po nulu. Spolu s predchádzajúcimi pokusmi s kružnicami to však znamená toto: pre každý bod na sínusovke vieme zadať taký polomer kružnice, že na tej (a nijakej inej) kružnici BY nás tlačilo presne tak, ako nás práve teraz tlačí na sínusovke. A toto neplatí len pre sínusovku, ale pre akúkoľvek krivku v rovine. Každý bod každej (nezalomenej) krivky sa tak charakterizuje číslom, polomerom fiktívnej kružnice, jazdou po ktorej by sme cítili presne rovnakú silu. No a krivosťou tej krivky v danom bode napokon nenazveme ten polomer, ale jeho prevrátenú hodnotu. To prevrátenie zariadi, aby boli prudké zákruty charakterizované veľkým číslom a mierne malým.
.krivosť dvojrozmerných plôch
Pojem krivosti dvojrozmernej plochy sa bude odvíjať od už známeho pojmu krivosti rovinnej krivky. Ale kde tam tie rovinné krivky naberieme? Urobíme to takto: V danom mieste plochy zapichneme kolmo na ňu špendlík. Vyberieme nejakú rovinu, v ktorej celý ten špendlík leží. (Je ich nekonečne veľa, vyberieme si jednu.) Prienik tejto roviny a uvažovanej plochy je rovinná krivka. (Leží v tej rovine, ktorú sme vybrali.) Táto krivka má v bode vpichu špendlíka svoju krivosť.
Teraz tú rovinu začneme okolo špendlíka otáčať. (Získame tak postupne všetky iné roviny, ktoré sme si mohli vybrať hneď na začiatku.) V každej polohe dostávame príslušnú krivosť. Je asi jasné, že sa dá nájsť natočenie, v ktorom je tá krivosť najvyššia a iné natočenie, keď je najnižšia zo všetkých získaných. Tieto dve krivosti si zapamätáme a budeme ich volať hlavné krivosti plochy v tom bode.
Ako ilustráciu zoberme sféru (povrch gule) a jej model – glóbus. Ako bod vpichu zoberme severný pól. Potom počiatočnou rovinou je rovina, v ktorej leží nejaký konkrétny poludník a prienik so sférou je práve ten poludník. Jeho krivosť je prevrátená hodnota polomeru glóbusu. Krivosti pre všetky poludníky sú tu zhodou okolností rovnaké (sféra je veľmi špeciálna plocha), takže najnižšia hodnota = najvyššia hodnota. Hlavné krivosti sú tu teda rovnaké a nenulové.
Ak by sme urobili to isté pre obyčajnú rovinu, ako prieniky by sme dostali priamky. Tie treba chápať ako kružnice s nekonečným polomerom a prevrátenú hodnotu ako nulu. Hlavné krivosti sú tu teda pre rovinu obe nulové.
Napokon na povrchu valca by bola jedna krivosť nulová (za priamku pozdĺž valca) a druhá nenulová (prevrátená hodnota polomeru valca).
.dve rôzne krivosti plochy
Zatiaľ je plocha v každom bode charakterizovaná dvoma číslami, hlavnými krivosťami. Ukazuje sa, že v drvivej väčšine situácií, v ktorých by sa zakrivenie plochy malo nejako prejaviť, sa v skutočnosti neobjavia samotné hlavné krivosti, ale len ich dve kombinácie, a to ich súčin alebo súčet. Preto zavedieme nové dve krivosti. Jedna z nich sa volá Gaussova (súčin hlavných krivostí) a druhá stredná (ich priemer čiže polovica súčtu hlavných krivostí). A na tie hlavné už zabudneme.
Krivá plocha by zrejme mala mať nenulovú krivosť. Lenže krivosti sú zrazu až dve a je možné, že nejaká plocha je krivá v jednom zmysle a nekrivá v druhom. Pozrime sa na naše tri plochy: rovinu, valec a sféru. Ak si spomenieme na výsledky pre hlavné krivosti, dostávame z nich toto: rovina má obe krivosti (strednú aj Gaussovu) nulové, valec má strednú krivosť nenulovú a Gaussovu nulovú a sféra ich má nenulové obe.
Rovina je v oboch zmysloch nekrivá, sféra je v oboch krivá. To by nás nemuselo prekvapiť – veď ,,pozriem a vidím". Pozoruhodný je ale valec. Laický pohľad hovorí, že je krivý. Veda hovorí, že v jednom zmysle krivý je a v druhom nie! Nie je krivý v Gaussovom zmysle. Čo je za tým?
.theorema egregium
Pripomeňme si, že na zavedenie oboch krivostí, Gaussovej aj strednej, sme využívali trojrozmerný priestor, v ktorom bola tá dvojrozmerná plocha uložená. Veď špendlík trčí kolmo na plochu, a to chce pridať k dvom rozmerom plochy aj tretí rozmer, aby mal kam trčať. No a bez špendlíka nemáme hlavné krivosti a bez nich nemáme ich súčin čiže Gaussovu krivosť. A ani ich súčet, teda ani strednú krivosť.
Alebo, žeby nie? Gauss, matematická hviezda prvej veľkosti prvej polovice 19. storočia zistil (zložito), že na súčin hlavných krivostí v skutočnosti vôbec nepotrebuje tretí rozmer! (Na súčet ho ale treba.) Hodnotu tohto súčinu bol schopný vyrátať z čisto dvojrozmernej geometrie na ploche, aj keď samotné hlavné krivosti sa takto vyrátať nedajú. Keď mu došlo, akú hlbokú vec odhalil, bol z toho taký nadšený, že to pomenoval Theorema Egregium, čo znamená pozoruhodná (vynikajúca, skvelá) veta.
Podľa tejto vety na výpočet Gaussovej krivosti valca stačí geometria na valci. Súčasne sme pre ňu (ináč) dostali nulu, teda to isté, čo pre rovinu. Počítaním len na valci teda nevieme odlíšiť valec od roviny! Napríklad ak vytvoríme na hodinách rovinnej geometrie integrovanú výučbu pre dvojrozmerné deti z valca spolu s našimi deťmi, deti z valca neskončia na VÚP (valcovom úrade práce). Učia sa rozumné veci do života na valci. Napríklad, že súčet uhlov v trojuholníku je 180 stupňov.
Ak by sme však do spoločnej triedy pridali aj dvojrozmerné deti zo sféry a tie by po návrate využívali poučku o súčte uhlov, spadol by im (obrazne) prvý most, ktorý by postavili. Tam totiž ľahko nájdeme trojuholník, pre ktorý to neplatí. (Jeho vrcholy: severný pól a dva body na rovníku vo vzdialenosti štvrtiny jeho obvodu; súčet je 270 stupňov.) A takýchto dôležitých rozdielov je viac. Príbuznosť valca a roviny (rovnaké Gaussove krivosti) a nepríbuznosť sféry a roviny odhalíme napríklad aj tak, že (pôvodne rovinnú) etiketu pekne nalepíme na fľašu (valec), ale na biliardovú guľu sa nám to (pekne) nepodarí.
.zvonku a zvnútra
Ukazuje sa, že Gaussova krivosť je výpoveď o ,,vnútornej" geometrii plochy. Tej geometrii, ktorú sa učia pre praktický život príslušnoplošné dvojrozmerné deti v príslušnoplošnej dvojrozmernej škole. Stredná krivosť nás zase informuje o ,,vonkajšej" geometrii plochy (ako sa javí nám po vymodelovaní v troch rozmeroch). Valec sa nám ,,zvonka" javí ako krivý, lebo má nenulovú strednú krivosť. Jeho (dvojrozmerným) obyvateľom, t. j. ,,zvnútra", sa ale ako krivý nejaví, lebo má nulovú Gaussovu krivosť. Sféra sa javí ako krivá aj nám, aj jej obyvateľom.
Tú "vnútornú" Gaussovu krivosť geniálne zovšeobecnil na viacej rozmerov o generáciu mladší a nemenej hviezdny Riemann. Jeho (už podstatne zložitejší) pojem krivosti, použitý v štvorrozmernom časopriestore, je alfou a omegou v Einsteinovej teórii gravitácie.
Tá "vonkajšia" stredná krivosť sa prejavuje v obyčajnom svete okolo nás. Na odvážnych strechách odvážnych architektov či na kvapkách a mydlových bublinách. Ale o kvapkách a bublinách si pohovoríme až v ďalšom článku.
.autor je fyzik.
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.