V článku o krivostiach sme sa v minulom čísle najprv dozvedeli, ako sa dá zaviesť krivosť rovinnej krivky (pomocou odstredivej sily). Potom to, ako sa charakterizuje krivosť dvojrozmernej plochy. Prišli sme k tomu, že v prípade plôch sú zaujímavé krivosti až dve. Gaussova, ktorá charakterizuje vnútornú geometriu na ploche (učia sa ju v škole dvojrozmerní obyvatelia tej plochy) a stredná, ktorá je výpoveďou o vonkajšej geometrii plochy. Teda o tom, ako sa nám plocha javí v našom trojrozmernom priestore. Dozvedeli sme sa tiež, že Gaussovu krivosť (veľmi netriviálne) zovšeobecnil na ľubovoľný počet rozmerov Riemann. Táto jeho krivosť si potom s obrovským úspechom zahrala v Einsteinovom opise gravitácie ako zakrivenia časopriestoru.
V tomto článku sa zameriame na prejavy strednej krivosti. Tie sú pre laikov podstatne prístupnejšie. Dvojrozmernou plochou, často s nenulovou strednou krivosťou, je napríklad povrch každého rozumného telesa okolo nás. Tu sa obmedzíme na povrchy kvapiek a na mydlové bubliny. Jednak je tam v hre aj jednoduchá a poučná fyzika a jednak majú bubliny pozoruhodné matematické vlastnosti.
.beh na 400 m a súťaž v maľovaní plôch
Skôr než sa pustíme do bublín, zameriame sa na jednu do očí bijúcu krivdu, ktorá sa pácha na bežcoch na 400 metrov (jedno kolečko na atletickom štadióne). Iste ste si všimli, ako trápne vyzerá štart takého preteku. Bežec na prvej (vnútornej) dráhe nemá – chudák – žiadnu známosť medzi organizátormi. Bežec na druhej dráhe sa už pozná s jedným členom jury, a preto má protekciu, štartuje o vyše 7 metrov vpredu! Bežec na tretej dráhe sa pozná s dvoma členmi jury, a to mu vynesie ďalších vyše 7 metrov. Takto to ide ďalej, až napokon bežec na poslednej, ôsmej dráhe má už takú protekciu (keďže sa pozná s celým organizačným výborom), že sa s neskrývanou drzosťou postaví na štart kúsok za tretinou oblúka dráhy. Od prvého pretekára si odkráča na miesto svojho štartu približne 50 metrov dopredu. (Bežcom je to celé také nepríjemné, že sa krátko pred štartom radšej uprene pozerajú do zeme.)
A ako to vysvetľujú organizátori? Vraj je to celé takto. Celková dráha sa skladá z dvoch roviniek po zhruba 85 metroch a dvoch polkružníc, každou s dĺžkou cca 115 m. (Súčet je naozaj 400 m.) Šírka celého pásu s dráhami je 10 m a zmestí sa doň 8 dráh. Každá ďalšia dráha má teda polomer polkužnice o meter a štvrť väčší ako predchádzajúca. Tých 115 m platilo pre vnútornú dráhu. Druhá je preto dlhšia (spolu o 2 pí krát 1,25 m, čo je tých vyše 7 metrov). Tretia podobne, štvrtá podobne... Takže oni dôvodia, že nespravodlivé by to vlastne bolo, keby ich postavili na štart rovnako. Musia im to vraj kompenzovať tými posunutiami. Hm.
Predstavme si teraz plošný analóg uvažovaného behu. Keďže beh je jednorozmerný šport (nedá sa bežať plocha, iba dĺ́žka), súťaž nebude v behu. Bude to súťaž v maľovaní plochy opreteky (na čas). Analóg dráhy by bol povrch valca (analóg bežeckých roviniek) zakončený na oboch stranách polsférami (analóg polkružníc). Druhá „dráha“ by bol podobný útvar 1,25 m od toho prvého (smerom von). Tretí (a ďalšie) podobne. Organizátori opäť tvrdia, že druhá „dráha“ má väčšiu plochu, a preto to musia (ak chcú byť spravodliví) súťažiacemu nejako kompenzovať. Napríklad tak, že časť plochy je už vopred vymaľovaná.
Poučenie je takéto. Pri behu sa skladala dráha z časti s nulovou krivosťou (rovinka) a s nenulovou krivosťou (polkružnica). Ďalšia dráha vzniká z predchádzajúcej tak, že všetky body pôvodnej dráhy posunieme (o 1,25 m) kolmo na ňu. Stane sa to, že časť s nulovou krivosťou dĺ́žku nezmení (posunuté rovinky sú rovnako dlhé), časť s kladnou krivosťou dĺžku zväčší. Pri veľkej krivosti (menšie polkružnice) relatívne viac, pri menšej relatívne menej. Krivosť krivky sa teda spozná aj z toho, nakoľko narastie relatívne jej dĺ́žka, ak ju v každom bode rovnako posuniem kolmo na ňu (na našich dráhach narastá síce absolútne rovnako, cca o 7 m, ale relatívne čoraz menej, lebo polkružnice sú čoraz dlhšie).
Plošný analóg: každý bod plochy posuniem o fixnú vzdialenosť kolmo na ňu. Dostanem posunutú plochu. Skúmam, nakoľko sa relatívne zmenil jej povrch (ako číslo v metroch štvorcových). Výpočet ukazuje, že to odhalí strednú (!) krivosť tej plochy.
.kvapka v rovnováhe
Rozhranie medzi dvoma tekutinami (napríklad vodou a vzduchom – aj plyn je tekutina!) pripomína pružnú blanku (využívajú to vodomerky). Platí tu zaujímavý zákon. Vytvorenie jednotky novej plochy stojí istú fixnú energiu. (Ako pri kupovaní pozemku – štvorcový meter toľko a toľko.) Tá energia sa volá povrchové napätie a je vo fyzikálnych tabuľkách. Keďže plocha niečo stojí, príroda ňou neplytvá. Kvapka zaujme tvar, pri ktorom je pri danom objeme minimálna plocha povrchu (rozhrania). A to je guľa. Plocha rozhrania je teda sféra. (Myslí sa kvapka v pokoji. Dažďová padá cez vzduch, to je trochu iné.)
V rokoch 1804 a 1805 sa postupne zamýšľali nad zákonmi rozhrania Young a Laplace. V roku 1830 ich výsledky matematicky sformuloval Gauss. Zaujímalo ich, čo musí platiť v stave rovnováhy. Ide približne o toto:
„Blanka“ na povrchu kvapky ju trochu stláča. Dodatočne k tomu, ako ju stláča vzduch (atmosférický tlak). Preto je tlak vnútri kvapky väčší ako vonku. Výsledný tlak na daný kúsok blanky je tak „smerom von“. Ten kúsok blanky by energeticky získal, keby sa tej tlakovej sile podvolil (podobne, ako sa podvolí gravitačnej sile kameň a začne padať) a posunul sa smerom „von“. Lenže vtedy si spomenie, že by to zároveň viedlo k zväčšeniu jeho plochy, keďže blanka na kvapke je krivá. (Súťaž v maľovaní!) Rovnováha (kompromis) nastáva vtedy, keď sa jej už pohnúť energeticky neoplatí. (Táto úvaha je známa ako „princíp virtuálnych prác“.) Chce to istý presný vzťah medzi rozdielmi tlakov a (strednou!) krivosťou blanky (a tiež povrchovým napätím, teda energetickou cenou jednotky plochy). Rovnica tejto rovnováhy nesie meno po Youngovi a Laplaceovi, dáva do súvisu geometriu tej plochy s tlakovými pomermi na jej oboch stranách .
Keď je kvapka guľová, jej (stredná) krivosť je prevrátená hodnota polomeru. Jednoznačne teda súvisia tri veci. Polomer kvapky, rozdiel tlakov vnútri a vonku a povrchové napätie, ktoré závisí od toho, z čoho je kvapka (voda, ortuť, ...) a v čom ju sledujeme (vzduch, ...). Ten rozdiel tlakov je spravidla veľmi malý, lebo povrchové napätie je malé (udrží na hladine vodomerku, nás nie). Za reč stojí iba pre veľmi (!) maličké kvapky (tie sú veľmi krivé), lepšie z ortute ako z vody (veľké povrchové napätie).
.bublina v rovnováhe
Bublina sa líši od kvapky tým, že obsahuje až dve rozhrania. Máme vzduch, potom tenučkú vrstvu (mydlovej) vody (prvé rozhranie) a potom opäť vzduch (druhé rozhranie). Rovnicu rovnováhy treba aplikovať dvakrát.
Uzavreté bubliny (to sú tie krásne guľaté, ktoré vypúšťame slamkami) nie sú nejako mimoriadne poučné. Rozdiel tlakov vnútri a vonku je dvojnásobný ako pri kvapke (za dve rozhrania).
Zaujímavejšie sú „otvorené“ bubliny (blany). Tie vzniknú po vytiahnutí drôteného rámika z mydlovej vody. Takáto bublina má z oboch strán atmosférický tlak. Ukazuje sa, že aj v tej vrstvičke vody je potom atmosférický tlak. Na oboch stranách rozhrania sú tak rovnaké tlaky. Rozdiel tlakov je nula. Podľa Youngovej-Laplaceovej rovnice potom stredná krivosť bubliny je nulová!
Mydlové blany majú tvar plochy s nulovou strednou krivosťou v každom bode. To je napríklad rovina, ak je aj rámček rovinnou krivkou. Ale ak nie je, je to zaujímavejšie. Plocha nie je rovinou, a aj tak má nulovú strednú krivosť. Dá sa to? Áno. Predstavme si konské sedlo. Smerom na strany sa zvažuje (aby sme mali kam dať nohy), dopredu a dozadu stúpa (aby sme sa nezošmykli). Keď sa zrátajú hlavné krivosti z minulého článku, budú mať opačné znamienka a ich stredná hodnota (čo je stredná krivosť) tak má šancu byť nulová, aj keď plocha zjavne nie je rovina. No a tá blana to okamžite pri vyťahovaní z vody zariadi tak, že v každom svojom bode (!) má presne taký sedlový tvar, aby tam bola nulová stredná krivosť.
Takáto plocha má ešte jednu zaujímavú vlastnosť – má najmenší povrch zo všetkých plôch, ktoré sa naťahujú na daný rámik. To znie celkom uveriteľne, keď si spomenieme, že za „výrobu“ každého štvorcového milimetra sa platí (energiou). Uveriteľne potom znie aj to, že takéto plochy sa oficiálne volajú minimálne plochy. Každá mydlová blana na (každom) rámčeku je teda minimálnou plochou.
Minimálne plochy sú však známe aj z architektúry a inšpirácia mydlovými blanami sa tam nijako netají (Frei Otto). Okrem nesporných estetických kvalít má tento tvar strechy aj výhodu úspory materiálu a minimalizáciu jej váhy. Pripomeňme Olympijský park v Mníchove (1972), Expo Axis v Šanghaji (2010), sedlový oblúk Heilmaier Memorial Bandstand v Minnesote (2002) a je ešte mnoho ďalších. Keď sa na takéto stavby pozrieme, hneď je jasné, že ich projektovanie a stavanie bude zrejme iná technologická liga, ako postaviť unimobunku. Strechu držia napríklad vzájomne sa pretínajúce oceľové laná a algoritmus účelného umiestnenia uzlov je celá menšia „veda“ (malo by to, okrem iného, aj dosť vydržať). A pritom každý z nás si môže malé modely týchto kultových stavieb za chvíľku vyrobiť v kúpeľni. Stačí vytvarovať drôt do tvaru okraja stavby, ponoriť ho do mydlovej vody a vytiahnuť von.Stať sa moderným architektom je také ľahké!
.autor je fyzik
V tomto článku sa zameriame na prejavy strednej krivosti. Tie sú pre laikov podstatne prístupnejšie. Dvojrozmernou plochou, často s nenulovou strednou krivosťou, je napríklad povrch každého rozumného telesa okolo nás. Tu sa obmedzíme na povrchy kvapiek a na mydlové bubliny. Jednak je tam v hre aj jednoduchá a poučná fyzika a jednak majú bubliny pozoruhodné matematické vlastnosti.
.beh na 400 m a súťaž v maľovaní plôch
Skôr než sa pustíme do bublín, zameriame sa na jednu do očí bijúcu krivdu, ktorá sa pácha na bežcoch na 400 metrov (jedno kolečko na atletickom štadióne). Iste ste si všimli, ako trápne vyzerá štart takého preteku. Bežec na prvej (vnútornej) dráhe nemá – chudák – žiadnu známosť medzi organizátormi. Bežec na druhej dráhe sa už pozná s jedným členom jury, a preto má protekciu, štartuje o vyše 7 metrov vpredu! Bežec na tretej dráhe sa pozná s dvoma členmi jury, a to mu vynesie ďalších vyše 7 metrov. Takto to ide ďalej, až napokon bežec na poslednej, ôsmej dráhe má už takú protekciu (keďže sa pozná s celým organizačným výborom), že sa s neskrývanou drzosťou postaví na štart kúsok za tretinou oblúka dráhy. Od prvého pretekára si odkráča na miesto svojho štartu približne 50 metrov dopredu. (Bežcom je to celé také nepríjemné, že sa krátko pred štartom radšej uprene pozerajú do zeme.)
A ako to vysvetľujú organizátori? Vraj je to celé takto. Celková dráha sa skladá z dvoch roviniek po zhruba 85 metroch a dvoch polkružníc, každou s dĺžkou cca 115 m. (Súčet je naozaj 400 m.) Šírka celého pásu s dráhami je 10 m a zmestí sa doň 8 dráh. Každá ďalšia dráha má teda polomer polkužnice o meter a štvrť väčší ako predchádzajúca. Tých 115 m platilo pre vnútornú dráhu. Druhá je preto dlhšia (spolu o 2 pí krát 1,25 m, čo je tých vyše 7 metrov). Tretia podobne, štvrtá podobne... Takže oni dôvodia, že nespravodlivé by to vlastne bolo, keby ich postavili na štart rovnako. Musia im to vraj kompenzovať tými posunutiami. Hm.
Predstavme si teraz plošný analóg uvažovaného behu. Keďže beh je jednorozmerný šport (nedá sa bežať plocha, iba dĺ́žka), súťaž nebude v behu. Bude to súťaž v maľovaní plochy opreteky (na čas). Analóg dráhy by bol povrch valca (analóg bežeckých roviniek) zakončený na oboch stranách polsférami (analóg polkružníc). Druhá „dráha“ by bol podobný útvar 1,25 m od toho prvého (smerom von). Tretí (a ďalšie) podobne. Organizátori opäť tvrdia, že druhá „dráha“ má väčšiu plochu, a preto to musia (ak chcú byť spravodliví) súťažiacemu nejako kompenzovať. Napríklad tak, že časť plochy je už vopred vymaľovaná.
Poučenie je takéto. Pri behu sa skladala dráha z časti s nulovou krivosťou (rovinka) a s nenulovou krivosťou (polkružnica). Ďalšia dráha vzniká z predchádzajúcej tak, že všetky body pôvodnej dráhy posunieme (o 1,25 m) kolmo na ňu. Stane sa to, že časť s nulovou krivosťou dĺ́žku nezmení (posunuté rovinky sú rovnako dlhé), časť s kladnou krivosťou dĺžku zväčší. Pri veľkej krivosti (menšie polkružnice) relatívne viac, pri menšej relatívne menej. Krivosť krivky sa teda spozná aj z toho, nakoľko narastie relatívne jej dĺ́žka, ak ju v každom bode rovnako posuniem kolmo na ňu (na našich dráhach narastá síce absolútne rovnako, cca o 7 m, ale relatívne čoraz menej, lebo polkružnice sú čoraz dlhšie).
Plošný analóg: každý bod plochy posuniem o fixnú vzdialenosť kolmo na ňu. Dostanem posunutú plochu. Skúmam, nakoľko sa relatívne zmenil jej povrch (ako číslo v metroch štvorcových). Výpočet ukazuje, že to odhalí strednú (!) krivosť tej plochy.
.kvapka v rovnováhe
Rozhranie medzi dvoma tekutinami (napríklad vodou a vzduchom – aj plyn je tekutina!) pripomína pružnú blanku (využívajú to vodomerky). Platí tu zaujímavý zákon. Vytvorenie jednotky novej plochy stojí istú fixnú energiu. (Ako pri kupovaní pozemku – štvorcový meter toľko a toľko.) Tá energia sa volá povrchové napätie a je vo fyzikálnych tabuľkách. Keďže plocha niečo stojí, príroda ňou neplytvá. Kvapka zaujme tvar, pri ktorom je pri danom objeme minimálna plocha povrchu (rozhrania). A to je guľa. Plocha rozhrania je teda sféra. (Myslí sa kvapka v pokoji. Dažďová padá cez vzduch, to je trochu iné.)
V rokoch 1804 a 1805 sa postupne zamýšľali nad zákonmi rozhrania Young a Laplace. V roku 1830 ich výsledky matematicky sformuloval Gauss. Zaujímalo ich, čo musí platiť v stave rovnováhy. Ide približne o toto:
„Blanka“ na povrchu kvapky ju trochu stláča. Dodatočne k tomu, ako ju stláča vzduch (atmosférický tlak). Preto je tlak vnútri kvapky väčší ako vonku. Výsledný tlak na daný kúsok blanky je tak „smerom von“. Ten kúsok blanky by energeticky získal, keby sa tej tlakovej sile podvolil (podobne, ako sa podvolí gravitačnej sile kameň a začne padať) a posunul sa smerom „von“. Lenže vtedy si spomenie, že by to zároveň viedlo k zväčšeniu jeho plochy, keďže blanka na kvapke je krivá. (Súťaž v maľovaní!) Rovnováha (kompromis) nastáva vtedy, keď sa jej už pohnúť energeticky neoplatí. (Táto úvaha je známa ako „princíp virtuálnych prác“.) Chce to istý presný vzťah medzi rozdielmi tlakov a (strednou!) krivosťou blanky (a tiež povrchovým napätím, teda energetickou cenou jednotky plochy). Rovnica tejto rovnováhy nesie meno po Youngovi a Laplaceovi, dáva do súvisu geometriu tej plochy s tlakovými pomermi na jej oboch stranách .
Keď je kvapka guľová, jej (stredná) krivosť je prevrátená hodnota polomeru. Jednoznačne teda súvisia tri veci. Polomer kvapky, rozdiel tlakov vnútri a vonku a povrchové napätie, ktoré závisí od toho, z čoho je kvapka (voda, ortuť, ...) a v čom ju sledujeme (vzduch, ...). Ten rozdiel tlakov je spravidla veľmi malý, lebo povrchové napätie je malé (udrží na hladine vodomerku, nás nie). Za reč stojí iba pre veľmi (!) maličké kvapky (tie sú veľmi krivé), lepšie z ortute ako z vody (veľké povrchové napätie).
.bublina v rovnováhe
Bublina sa líši od kvapky tým, že obsahuje až dve rozhrania. Máme vzduch, potom tenučkú vrstvu (mydlovej) vody (prvé rozhranie) a potom opäť vzduch (druhé rozhranie). Rovnicu rovnováhy treba aplikovať dvakrát.
Uzavreté bubliny (to sú tie krásne guľaté, ktoré vypúšťame slamkami) nie sú nejako mimoriadne poučné. Rozdiel tlakov vnútri a vonku je dvojnásobný ako pri kvapke (za dve rozhrania).
Zaujímavejšie sú „otvorené“ bubliny (blany). Tie vzniknú po vytiahnutí drôteného rámika z mydlovej vody. Takáto bublina má z oboch strán atmosférický tlak. Ukazuje sa, že aj v tej vrstvičke vody je potom atmosférický tlak. Na oboch stranách rozhrania sú tak rovnaké tlaky. Rozdiel tlakov je nula. Podľa Youngovej-Laplaceovej rovnice potom stredná krivosť bubliny je nulová!
Mydlové blany majú tvar plochy s nulovou strednou krivosťou v každom bode. To je napríklad rovina, ak je aj rámček rovinnou krivkou. Ale ak nie je, je to zaujímavejšie. Plocha nie je rovinou, a aj tak má nulovú strednú krivosť. Dá sa to? Áno. Predstavme si konské sedlo. Smerom na strany sa zvažuje (aby sme mali kam dať nohy), dopredu a dozadu stúpa (aby sme sa nezošmykli). Keď sa zrátajú hlavné krivosti z minulého článku, budú mať opačné znamienka a ich stredná hodnota (čo je stredná krivosť) tak má šancu byť nulová, aj keď plocha zjavne nie je rovina. No a tá blana to okamžite pri vyťahovaní z vody zariadi tak, že v každom svojom bode (!) má presne taký sedlový tvar, aby tam bola nulová stredná krivosť.
Takáto plocha má ešte jednu zaujímavú vlastnosť – má najmenší povrch zo všetkých plôch, ktoré sa naťahujú na daný rámik. To znie celkom uveriteľne, keď si spomenieme, že za „výrobu“ každého štvorcového milimetra sa platí (energiou). Uveriteľne potom znie aj to, že takéto plochy sa oficiálne volajú minimálne plochy. Každá mydlová blana na (každom) rámčeku je teda minimálnou plochou.
Minimálne plochy sú však známe aj z architektúry a inšpirácia mydlovými blanami sa tam nijako netají (Frei Otto). Okrem nesporných estetických kvalít má tento tvar strechy aj výhodu úspory materiálu a minimalizáciu jej váhy. Pripomeňme Olympijský park v Mníchove (1972), Expo Axis v Šanghaji (2010), sedlový oblúk Heilmaier Memorial Bandstand v Minnesote (2002) a je ešte mnoho ďalších. Keď sa na takéto stavby pozrieme, hneď je jasné, že ich projektovanie a stavanie bude zrejme iná technologická liga, ako postaviť unimobunku. Strechu držia napríklad vzájomne sa pretínajúce oceľové laná a algoritmus účelného umiestnenia uzlov je celá menšia „veda“ (malo by to, okrem iného, aj dosť vydržať). A pritom každý z nás si môže malé modely týchto kultových stavieb za chvíľku vyrobiť v kúpeľni. Stačí vytvarovať drôt do tvaru okraja stavby, ponoriť ho do mydlovej vody a vytiahnuť von.Stať sa moderným architektom je také ľahké!
.autor je fyzik
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.