Je dobre, že sa poučka o zotrvačnosti učí. Učí nás pravdivejšiemu obrazu sveta okolo nás. Napriek tomu je v nej dosť veľa didaktickej licencie, teda ústupkov od vyčerpávajúcej pravdivosti v prospech ľahkého naučenia sa. Presnejšia formulácia mala znieť: „Teleso zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe voči inerciálnej vzťažnej sústave, kým nie je nútené vonkajšími silami svoj stav zmeniť.“
V škole sa to tak spravidla nehovorí, lebo vysvetliť mystické pridané slová „inerciálna vzťažná sústava“ vôbec nie je ľahké. A priznajme, že spresnenie pravdivosti tvrdenia pridaním takej mystiky nie je pre pochopenie pokroku od Aristotela k Newtonovi pre bežného občana kľúčové.
Keď sme to nahryzli, demonštrujme na jednoduchom príklade, že zákon zotrvačnosti bez toho prídavku neplatí. Predstavme si električku: na zadnom sedadle sedí kovboj, na prednom okne sedí komár. Kovboj sa rozhodne komára zabiť guľkou vystrelenou z pištole. Ak električka počas streľby zahýba doľava, kovboj komára netrafí, hoci mieril dobre. Guľka totiž neletí voči zahýbajúcej električke rovno. Nie je v tom žiadna mystika. Pozorovateľ stojaci na ceste uvidí, že guľka z jeho pohľadu letela rovno voči zemi pozdĺž zámernej priamky, ibaže električka za čas, ktorý guľka potrebovala na dolet k prednému oknu, „uhla aj s komárom doľava“. Kovboj v električke to vníma tak, že dráha guľky voči električke je zakrivená doprava. Odborne sa povie, že zahýbajúca električka netvorí inerciálnu vzťažnú sústavu. .priamočiaro
Tento článok je ďalej o tom, že aj s opravou na inerciálnosť je poučka ústupkom v snahe o pravdivosť. Snaha o pravdivosť totiž vyžaduje, aby sme vedeli overiť, či poučka je, alebo nie je pravdivá. Aby sme mohli overiť, či sa „teleso pohybuje priamočiaro“, musíme vedieť, čo je to priamočiaro, teda ľudovo „rovno“. Napadlo vám niekedy, či by ste vedeli povedať Marťanovi po telefóne, čo máte na mysli slovom priamočiaro?
Jedna z možností je povedať: „Rovno je to, ako letí guľka z pištole (v nulovom gravitačnom poli), ale nie v zahýbajúcej alebo rýchlosť meniacej električke.“ Nie zlé, ale potom sa nedá tak ľahko debatovať o pravdivosti poučky o zotrvačnosti, ktorá dostane príchuť „odvolávania sa na seba samu“. (Pre prísnych logikov poznamenajme, že isté aspekty testovateľnosti pravdy ostanú i tak, ako napríklad, že aj fotón sa hýbe tak ako guľka, že všetky guľky sa tak hýbu, a tak podobne.)
Skúsme niečo iné. Každý murársky majster vie, čo je to „rovno“. Učňovi povie, že si má natiahnuť špagát, aby postavil múr rovno. Marťanovi môžeme povedať: natiahnutý špagát definuje, čo to znamená „rovno“. Ale murársky majster to nechápe ako definíciu „rovna“. Povie učňovi: „Však vidíš, že natiahnutý špagát je rovný.“ Pre murára, zdá sa, existuje „nešpagátová“ definícia rovnosti. Asi skrytá v slove vidíš. Spomínam si na škôlkarsky vtip, že ako sa povie po poľsky „V zástup nastúpiť!“. Takto: „Proše pana, pan za pana, žeby pan pana nevidzial!“ Keď pán pána nevidí, zástup je rovný. Zjavne sa použije fyzikálna poučka, že „svetlo sa šíri priamočiaro“. Ibaže potom nemožno debatovať o pravdivosti tej poučky. A mimochodom, svetlo je čosi ako prúd fotónov, takže zákon o šírení svetla hovorí v podstate to isté ako zákon zotrvačnosti.
Bavíme sa stále o tom, čo je to rovná čiara. Pre zábavu podumajme, čo je to rovná plocha. Nápad: „Plocha je rovná, ak sa dá vydláždiť štvorcovými dlaždicami.“ Naozaj, ak idete robiť zámkovú dlažbu a chodník predtým dosť nevyrovnáte, niekde musíte urobiť rozširujúce sa škáry medzi dlaždicami. Teraz je aj nový nápad, čo je rovná čiara na rovnej ploche. Vydláždim plochu štvorcovými dlaždicami „natesno“ a škáry medzi dlaždicami vytvoria sieť z definície rovných čiar. Lenže, má to háčik. Povedali sme štvorcové dlaždice. A tie musia mať rovné hrany, aby sa dalo natesno dláždiť. Takže musíte najprv vedieť, čo je rovná hrana, teda „rovno“ a až potom dláždiť. Dá sa to prekonať. Netreba mať štvorce, aby sa dalo „dláždiť do štvorcov“. Najprv pomocná úloha: viete zatĺcť do (rovnej) zeme štyri kolíky tak, aby tvorili vrcholy štvorca? Kým budete čítať ďalej, skúste sami podumať.
Ja by som to robil takto. Zatlčiem dva kolíky (nazvem ich 1 a 2) do zeme (hocijako). Potom skusmo „len tak naľahko“ zastrčím do zeme ďalšie dva, že čo keby som mal šťastie. Dá sa otestovať, či sú to vrcholy štvorca, i keď neviem, čo je to rovná čiara. Zoberiem si hocijakú krivú tyč, ako napríklad haluz. Priložím jeden koniec k prvému zatlčenému kolíku a opriem tyč o druhý zatlčený kolík. Tam, kde sa tyč dotýka druhého kolíka, urobím nožom vryp. Bez ohľadu na to, že tyč je krivá, jej začiatok a vryp definujú dĺžku strany. Potom skontrolujem tou tyčou vzdialenosti od 1 po 3 , od 3 po 4 a od 2 po 4, či sú rovnaké ako vzdialenosť od 1 po 2. Asi nebudú. Ale skúsim to zlepšovať. Vytiahnem kolíky 3 a 4 a zastrčím ich tak, aby sa priveľké vzdialenosti zmenšili a primalé zväčšili. Keď to budem postupne vylepšovať, skončím tak, že všetky strany budú rovnako dlhé.
Jedna spomienka. Ako malý žiak som mal raz vlčiu tmu a na písomke som nenarysoval rovnostranný trojuholník pomocou kružidla a pretínajúcich sa kružníc. Ako sa to malo. Na papierik som si urobil čiarky, aká dlhá je jedna strana, a potom som skúsil dať tretí vrchol urobením bodky od oka. A otestoval papierikom, či sú strany rovnaké. Po niekoľkých pokusných bodkách som vyrobil celkom slušný rovnostranný trojuholník. Tie bodky na papieri ostali, takže učiteľ videl, ako som to „zbastlil“. A dal mi jednotku! Bol to pre mňa zážitok na celý život. Pán učiteľ Repáš mi ukázal, čo to je tolerantnosť, nepredpojatosť, ocenenie nápadu... Veľký učiteľ.
Takže máme 4 kolíky a rovnaké strany. Ale nebude to dobre. Asi to bude kosoštvorec, nie štvorec. Zabudli sme kontrolovať rovnakosť uhlopriečok. Potrebujem ďalšiu tyč na testovanie rovnakosti uhlopriečok. Je to fuška, ale nakoniec sa to dá doiterovať. Skúste si to na papieri pomocou papierikov. (Mimochodom, nemuseli sme trvať na štvorci. To, čo chceme, sa dá vybudovať aj s kosoštvorcami.)
Máme teda štyri kolíky akoby vrcholy dlaždice, hoci nemáme dlaždicu! Potom rovnako pridáme ďalšie dva kolíky vpravo, potom hore, potom vľavo, potom dole, Až vykolíkujeme štvorcami celú rovinu. Teda, ak sa to dá takto vykolíkovať, potom je to rovná plocha, rovina. Kolíky tiež definujú, čo sú rovné čiary. Sú to zástupy kolíkov. Môžeme overiť, či vystrelená guľka letí pozdĺž kolíkov! Pre jednoduchosť sme to celé robili v rovine, dá sa to urobiť aj v priestore. Ak je náš priestor rovný, dal by sa natesno vyplniť (LEGO) kockami. (Niekoho možno prekvapí, že môže existovať aj krivý priestor. Môže.)
Zopakujme, že kolíková definícia rovnej čiary bude fungovať, iba ak celá plocha je rovná, teda ak sa dá vykolíkovať. Na krivej ploche sa dá tiež definovať a nakresliť rovná čiara, ale o tom možno inokedy.
.rovnomerne
Už vieme, čo to je „priamočiaro“. Teraz skúsme „rovnomerne“. Školská definícia hovorí, že to je vtedy, keď teleso za rovnaké časy urazí rovnaké dĺžky dráhy. Ale kedy sú dva časy rovnaké? Keď nám to ukážu dobré hodiny. Čo sú to dobré hodiny? No tie, ktoré tikajú pravidelne. Čo to je pravidelne? Keď každý tik trvá rovnako dlho. Aha! Dva časy sú rovnaké, keď sú rovnaké.
Ten logický kruh sa dá prelomiť. Vyrobme dvoje hodín rovnakým výrobným postupom. Potom veríme, že budú rovnaké v nasledujúcom zmysle: prvý tik prvých hodín bude trvať rovnako dlho ako prvý tik druhých hodín. Druhý tik prvých hodín rovnako ako druhý tik druhých hodín. Teraz kľúčový trik: Odštartujme prvé hodiny a rátajme tikania. Keď tiknú tisíci raz, odštartujme druhé hodiny. Potom pozorujme, či tikajú synchrónne, teda či tik číslo 1 001 prvých hodín bude súčasne s tikom 1 druhých. Ak áno, potom tisíci tik prvých hodín trvá rovnako ako prvý tik druhých hodín, ale ten je rovnaký ako prvý tik prvých hodín. Takže tisíci tik prvých hodín trvá rovnako ako prvý tik prvých hodín. A máme to. Môžeme skontrolovať, či hodiny vyrobené podľa určitého receptu tikajú pravidelne.
Teraz ku každému kolíku postavím jedného trpaslíka vyzbrojeného rovnako vyrobenými hodinami. Potom všetkým trpaslíkom synchronizujem hodiny, aby v tom istom okamihu ukazovali rovnaký čas, teda rovnaké číslo tiku. Dá sa to takto. Postavím sa presne do polovice vzdialenosti medzi dvoch trpaslíkov, ktorých hodiny chcem synchronizovať. A škúlim ľavým okom na ľavého, pravým na pravého. Vidím teda naraz dvoje hodín, ale asi neukazujú naraz to isté. Zakričím na jedného z tých dvoch niečo ako: „Postrč si ručičky na hodinkách trošku dopredu! Ešte kúsok! To už je veľa! Trošku naspäť!“ Doiterujem to tak, že uvidím u oboch trpaslíkov rovnaký čas. A urobím to s každým trpaslíkom voči jednému zvolenému hlavnému trpaslíkovi.
Teraz môžem kontrolovať, či guľka letí rovnomerne priamočiaro. Guľka musí letieť pozdĺž radu kolíkov. Každý trpaslík si zapíše čas, keď okolo neho preletela guľka. Záznamy zhromaždím vo vedeckom centre a skontrolujem, či na prelet od jedného kolíka k ďalšiemu guľka spotrebovala rovnaký počet tiknutí, ktoré dostanem ako rozdiel časových záznamov dvoch susedných trpaslíkov.
Stojí to meditovanie nad triviálnymi pojmami za to? Načo je dobré takto detailisticky uvažovať? Nevystačíme s intuitívnym chápaním toho všetkého? Nuž, Einstein presne toto potreboval, aby mu došlo, „čo chce teória relativity“. Iným nedošlo, ako poriadne treba vycizelovať elementárne pojmy.
V škole sa to tak spravidla nehovorí, lebo vysvetliť mystické pridané slová „inerciálna vzťažná sústava“ vôbec nie je ľahké. A priznajme, že spresnenie pravdivosti tvrdenia pridaním takej mystiky nie je pre pochopenie pokroku od Aristotela k Newtonovi pre bežného občana kľúčové.
Keď sme to nahryzli, demonštrujme na jednoduchom príklade, že zákon zotrvačnosti bez toho prídavku neplatí. Predstavme si električku: na zadnom sedadle sedí kovboj, na prednom okne sedí komár. Kovboj sa rozhodne komára zabiť guľkou vystrelenou z pištole. Ak električka počas streľby zahýba doľava, kovboj komára netrafí, hoci mieril dobre. Guľka totiž neletí voči zahýbajúcej električke rovno. Nie je v tom žiadna mystika. Pozorovateľ stojaci na ceste uvidí, že guľka z jeho pohľadu letela rovno voči zemi pozdĺž zámernej priamky, ibaže električka za čas, ktorý guľka potrebovala na dolet k prednému oknu, „uhla aj s komárom doľava“. Kovboj v električke to vníma tak, že dráha guľky voči električke je zakrivená doprava. Odborne sa povie, že zahýbajúca električka netvorí inerciálnu vzťažnú sústavu. .priamočiaro
Tento článok je ďalej o tom, že aj s opravou na inerciálnosť je poučka ústupkom v snahe o pravdivosť. Snaha o pravdivosť totiž vyžaduje, aby sme vedeli overiť, či poučka je, alebo nie je pravdivá. Aby sme mohli overiť, či sa „teleso pohybuje priamočiaro“, musíme vedieť, čo je to priamočiaro, teda ľudovo „rovno“. Napadlo vám niekedy, či by ste vedeli povedať Marťanovi po telefóne, čo máte na mysli slovom priamočiaro?
Jedna z možností je povedať: „Rovno je to, ako letí guľka z pištole (v nulovom gravitačnom poli), ale nie v zahýbajúcej alebo rýchlosť meniacej električke.“ Nie zlé, ale potom sa nedá tak ľahko debatovať o pravdivosti poučky o zotrvačnosti, ktorá dostane príchuť „odvolávania sa na seba samu“. (Pre prísnych logikov poznamenajme, že isté aspekty testovateľnosti pravdy ostanú i tak, ako napríklad, že aj fotón sa hýbe tak ako guľka, že všetky guľky sa tak hýbu, a tak podobne.)
Skúsme niečo iné. Každý murársky majster vie, čo je to „rovno“. Učňovi povie, že si má natiahnuť špagát, aby postavil múr rovno. Marťanovi môžeme povedať: natiahnutý špagát definuje, čo to znamená „rovno“. Ale murársky majster to nechápe ako definíciu „rovna“. Povie učňovi: „Však vidíš, že natiahnutý špagát je rovný.“ Pre murára, zdá sa, existuje „nešpagátová“ definícia rovnosti. Asi skrytá v slove vidíš. Spomínam si na škôlkarsky vtip, že ako sa povie po poľsky „V zástup nastúpiť!“. Takto: „Proše pana, pan za pana, žeby pan pana nevidzial!“ Keď pán pána nevidí, zástup je rovný. Zjavne sa použije fyzikálna poučka, že „svetlo sa šíri priamočiaro“. Ibaže potom nemožno debatovať o pravdivosti tej poučky. A mimochodom, svetlo je čosi ako prúd fotónov, takže zákon o šírení svetla hovorí v podstate to isté ako zákon zotrvačnosti.
Bavíme sa stále o tom, čo je to rovná čiara. Pre zábavu podumajme, čo je to rovná plocha. Nápad: „Plocha je rovná, ak sa dá vydláždiť štvorcovými dlaždicami.“ Naozaj, ak idete robiť zámkovú dlažbu a chodník predtým dosť nevyrovnáte, niekde musíte urobiť rozširujúce sa škáry medzi dlaždicami. Teraz je aj nový nápad, čo je rovná čiara na rovnej ploche. Vydláždim plochu štvorcovými dlaždicami „natesno“ a škáry medzi dlaždicami vytvoria sieť z definície rovných čiar. Lenže, má to háčik. Povedali sme štvorcové dlaždice. A tie musia mať rovné hrany, aby sa dalo natesno dláždiť. Takže musíte najprv vedieť, čo je rovná hrana, teda „rovno“ a až potom dláždiť. Dá sa to prekonať. Netreba mať štvorce, aby sa dalo „dláždiť do štvorcov“. Najprv pomocná úloha: viete zatĺcť do (rovnej) zeme štyri kolíky tak, aby tvorili vrcholy štvorca? Kým budete čítať ďalej, skúste sami podumať.
Ja by som to robil takto. Zatlčiem dva kolíky (nazvem ich 1 a 2) do zeme (hocijako). Potom skusmo „len tak naľahko“ zastrčím do zeme ďalšie dva, že čo keby som mal šťastie. Dá sa otestovať, či sú to vrcholy štvorca, i keď neviem, čo je to rovná čiara. Zoberiem si hocijakú krivú tyč, ako napríklad haluz. Priložím jeden koniec k prvému zatlčenému kolíku a opriem tyč o druhý zatlčený kolík. Tam, kde sa tyč dotýka druhého kolíka, urobím nožom vryp. Bez ohľadu na to, že tyč je krivá, jej začiatok a vryp definujú dĺžku strany. Potom skontrolujem tou tyčou vzdialenosti od 1 po 3 , od 3 po 4 a od 2 po 4, či sú rovnaké ako vzdialenosť od 1 po 2. Asi nebudú. Ale skúsim to zlepšovať. Vytiahnem kolíky 3 a 4 a zastrčím ich tak, aby sa priveľké vzdialenosti zmenšili a primalé zväčšili. Keď to budem postupne vylepšovať, skončím tak, že všetky strany budú rovnako dlhé.
Jedna spomienka. Ako malý žiak som mal raz vlčiu tmu a na písomke som nenarysoval rovnostranný trojuholník pomocou kružidla a pretínajúcich sa kružníc. Ako sa to malo. Na papierik som si urobil čiarky, aká dlhá je jedna strana, a potom som skúsil dať tretí vrchol urobením bodky od oka. A otestoval papierikom, či sú strany rovnaké. Po niekoľkých pokusných bodkách som vyrobil celkom slušný rovnostranný trojuholník. Tie bodky na papieri ostali, takže učiteľ videl, ako som to „zbastlil“. A dal mi jednotku! Bol to pre mňa zážitok na celý život. Pán učiteľ Repáš mi ukázal, čo to je tolerantnosť, nepredpojatosť, ocenenie nápadu... Veľký učiteľ.
Takže máme 4 kolíky a rovnaké strany. Ale nebude to dobre. Asi to bude kosoštvorec, nie štvorec. Zabudli sme kontrolovať rovnakosť uhlopriečok. Potrebujem ďalšiu tyč na testovanie rovnakosti uhlopriečok. Je to fuška, ale nakoniec sa to dá doiterovať. Skúste si to na papieri pomocou papierikov. (Mimochodom, nemuseli sme trvať na štvorci. To, čo chceme, sa dá vybudovať aj s kosoštvorcami.)
Máme teda štyri kolíky akoby vrcholy dlaždice, hoci nemáme dlaždicu! Potom rovnako pridáme ďalšie dva kolíky vpravo, potom hore, potom vľavo, potom dole, Až vykolíkujeme štvorcami celú rovinu. Teda, ak sa to dá takto vykolíkovať, potom je to rovná plocha, rovina. Kolíky tiež definujú, čo sú rovné čiary. Sú to zástupy kolíkov. Môžeme overiť, či vystrelená guľka letí pozdĺž kolíkov! Pre jednoduchosť sme to celé robili v rovine, dá sa to urobiť aj v priestore. Ak je náš priestor rovný, dal by sa natesno vyplniť (LEGO) kockami. (Niekoho možno prekvapí, že môže existovať aj krivý priestor. Môže.)
Zopakujme, že kolíková definícia rovnej čiary bude fungovať, iba ak celá plocha je rovná, teda ak sa dá vykolíkovať. Na krivej ploche sa dá tiež definovať a nakresliť rovná čiara, ale o tom možno inokedy.
.rovnomerne
Už vieme, čo to je „priamočiaro“. Teraz skúsme „rovnomerne“. Školská definícia hovorí, že to je vtedy, keď teleso za rovnaké časy urazí rovnaké dĺžky dráhy. Ale kedy sú dva časy rovnaké? Keď nám to ukážu dobré hodiny. Čo sú to dobré hodiny? No tie, ktoré tikajú pravidelne. Čo to je pravidelne? Keď každý tik trvá rovnako dlho. Aha! Dva časy sú rovnaké, keď sú rovnaké.
Ten logický kruh sa dá prelomiť. Vyrobme dvoje hodín rovnakým výrobným postupom. Potom veríme, že budú rovnaké v nasledujúcom zmysle: prvý tik prvých hodín bude trvať rovnako dlho ako prvý tik druhých hodín. Druhý tik prvých hodín rovnako ako druhý tik druhých hodín. Teraz kľúčový trik: Odštartujme prvé hodiny a rátajme tikania. Keď tiknú tisíci raz, odštartujme druhé hodiny. Potom pozorujme, či tikajú synchrónne, teda či tik číslo 1 001 prvých hodín bude súčasne s tikom 1 druhých. Ak áno, potom tisíci tik prvých hodín trvá rovnako ako prvý tik druhých hodín, ale ten je rovnaký ako prvý tik prvých hodín. Takže tisíci tik prvých hodín trvá rovnako ako prvý tik prvých hodín. A máme to. Môžeme skontrolovať, či hodiny vyrobené podľa určitého receptu tikajú pravidelne.
Teraz ku každému kolíku postavím jedného trpaslíka vyzbrojeného rovnako vyrobenými hodinami. Potom všetkým trpaslíkom synchronizujem hodiny, aby v tom istom okamihu ukazovali rovnaký čas, teda rovnaké číslo tiku. Dá sa to takto. Postavím sa presne do polovice vzdialenosti medzi dvoch trpaslíkov, ktorých hodiny chcem synchronizovať. A škúlim ľavým okom na ľavého, pravým na pravého. Vidím teda naraz dvoje hodín, ale asi neukazujú naraz to isté. Zakričím na jedného z tých dvoch niečo ako: „Postrč si ručičky na hodinkách trošku dopredu! Ešte kúsok! To už je veľa! Trošku naspäť!“ Doiterujem to tak, že uvidím u oboch trpaslíkov rovnaký čas. A urobím to s každým trpaslíkom voči jednému zvolenému hlavnému trpaslíkovi.
Teraz môžem kontrolovať, či guľka letí rovnomerne priamočiaro. Guľka musí letieť pozdĺž radu kolíkov. Každý trpaslík si zapíše čas, keď okolo neho preletela guľka. Záznamy zhromaždím vo vedeckom centre a skontrolujem, či na prelet od jedného kolíka k ďalšiemu guľka spotrebovala rovnaký počet tiknutí, ktoré dostanem ako rozdiel časových záznamov dvoch susedných trpaslíkov.
Stojí to meditovanie nad triviálnymi pojmami za to? Načo je dobré takto detailisticky uvažovať? Nevystačíme s intuitívnym chápaním toho všetkého? Nuž, Einstein presne toto potreboval, aby mu došlo, „čo chce teória relativity“. Iným nedošlo, ako poriadne treba vycizelovať elementárne pojmy.
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.