Potrebujete milión dolárov?

Tak najprv zájdete na stránku Clayovho matematického ústavu (Clay Mathematics Institute). Tam si prečítate zadania tzv. miléniových úloh. Miléniové znamená, ako ste si správne domysleli, že sú to úlohy pre nové tisícročie (v tom minulom sa akosi nestihli). Ale tie úlohy sú zároveň aj miliónové. Ak vyriešite ktorúkoľvek z nich, spomínaný milión je váš.

Dovedna je úloh sedem, za každú milión. Ale nemajme hneď veľké oči, nejde o detské zábavky. Ba pri niektorých z nich je neprofesionálovi veľmi ťažké čo i len vysvetliť, o čo tam vôbec ide. Prečo vás teda nahováram na takú ťažkú vec? Lebo jedna zo šiestich úloh, ktoré ešte zostali (jednu už vyriešil ruský matematik G. Pereľman), možno napokon nebude až taká ťažká, ako si to jej zadávatelia mysleli. Na tú sa sústreďte. Tam je ten milión možno aj na dosah. 

Že ktorá z nich to je? Volá sa Navierove-Stokesove rovnice. A prečo si myslím, že by mala byť ľahšia? Pozrite si dobre v oficiálnom zadaní úlohy, čo vlastne tieto rovnice opisujú. Už je to jasné, však? Veď opisujú obyčajné prúdenie vody. No a to predsa nemôže byť až také ťažké! A všetci sme už videli tiecť vodu, niektorí z nás dokonca aj viackrát. Čo už môže byť zložité na tečení vody? Dajte akýkoľvek problém o prúdení vody, chvíľu porozmýšľam, predstavím si to a vzápätí vyklopím jeho riešenie! 

Alebo, ... žeby nie? Hm. Ak niekto ponúka milión dolárov za čosi okolo rovníc, ktoré opisujú tečenie obyčajnej vody, tak sú len dve možnosti. Buď nám ten dobrák chce jednoducho ten milión dať a našiel si na to takúto priehľadnú zámienku (zima, zima). Alebo (teplo, teplo) to tečenie obyčajnej vody nemusí byť také jednoduché, ako sme si to doteraz predstavovali. 

A ukazuje sa, že je to naozaj tak. S prúdením vody môže byť spojená zložitá a dodnes zďaleka nie celkom pochopená fyzika. A z pohľadu matematiky sú zasa s rovnicami opisujúcimi tečenie vody spojené aj nečakané ťažkosti (miliónovou úlohou je, napodiv, veľmi zhruba povedané, dôkaz existencie riešenia).

Voda sa teda chápe ako súbor obrovského počtu maličkých kvapiek (aj more je len súbor kvapiek). Sú naukladané bez medzier tesne vedľa seba (hm, teda také hranaté kvapky). Na každú kvapku teraz pôsobia dve sily. Jedna sa volá objemová (väčšinou ide o gravitačnú silu). Tá je jednoduchá. 

Zložitejšia je však druhá sila, ktorá sa volá plošná. Ako napovedá jej názov, pôsobí na kvapku cez jej okraj (plochu). Jej pôvodcom sú (cez priamy dotyk) susedné kvapky. A plošná sila sa ešte skladá z dvoch častí. Jednoduchšej, ktorá úzko súvisí s tlakom a zložitejšej, ktorej pôvod sa dá zhruba pripísať šmýkaniu sa kvapiek povrchmi o seba. Tá nastupuje vtedy, keď sa berie vážne aj viskozita (vnútorné trenie) vody. 

Ak počítame, ako letí vyhodený kameň, máme jeden objekt (kameň) a naň pôsobí jedna sila (gravitačná). Vec je jednoduchá. Ak však chceme počítať pohyb (prúdenie) vody, musíme vlastne akoby počítať, ako „letí“ každá jej kvapka pod vplyvom jednak gravitačnej sily (čo by bolo ľahké), ale navyše aj pod vplyvom síl od všetkých susedných kvapiek, ktoré tlačia a trú sa o tú našu. Lenže na ne zase tlačia a trú sa o ne jej susedné kvapky (vrátane tej našej), na ktoré zase tlačia ... 

A keď si teraz predstavíme, koľko tých kvapiek, pre ktoré to máme zrátať, vlastne je (pozorný čitateľ si pamätá, že ich je presne obrovský počet), tak zistíme, že sa tu na nás valí niečo hádam ešte zložitejšie, ako správne vyplnenie tlačív na daňové priznanie a zdravotné odvody dovedna. A preto sme napokon celkom radi, že to všetko za nás deň a noc strážia Navierove-Stokesove rovnice. V každom ich riešení je celá táto zložitá bilancia urobená bezchybne. Sú efektnou demonštráciou sily „nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc“. Hádam už uznáme, že na tej ich miléniovosti niečo bude. A asi nás už ani neprekvapí, keď sa z nich niekedy vydoluje aj niečo, čo by sme vopred vôbec nečakali.

Rovnice bez viskózneho člena sa volajú Eulerove rovnice. Zanedbanie viskozity situáciu zjednodušuje a pritom veľa zaujímavej fyziky ponecháva (nehaňte Eulera). Napríklad už v polovici 19. storočia z Eulerových rovníc majstrovsky „vytiahol“ viaceré zákonitosti platné pre zložité vírové prúdenie Hermann von Helmholtz. (Aj u nás sa, mimochodom, v tejto oblasti čulo bádalo. V laboratóriach tam niekde okolo Levoče získal naš ľud sériou dômyselných experimentov a bystrých pozorovaní cenné poznatky o vírovom tečení vody a svoje výsledky publikoval vo forme ľudovej piesne. Neskôr na to nadviazal prof. Eugen Suchoň monografiou Krútňava.)

Víry nie sú jednoduché, ale ešte oveľa ťažším orieškom je turbulencia. Ukazuje sa, že „kvalita“ prúdenia sa dá charakterizovať jedným bezrozmerným číslom, tzv. Reynoldsovým číslom. Experimenty ukazujú, že keď je toto číslo pomerne malé, prúdenie je „slušné“, tzv. laminárne. Akoby sa po sebe šúchali jednotlivé susedné „blanky“ čiže laminy. Keď však Reynoldsovo číslo zvyšujeme – čo sa dosiahne napríklad rýchlejším tečením – slušné prúdenie prestane byť „stabilné“ a postupne prechádza do zložitého „chaotického“ režimu, pri ktorom sa jeho charakteristiky (napríklad rýchlosť) menia na čoraz kratších škálach (vzniknú najprv väčšie „víry“, z nich  postupne menšie, ešte menšie, ...). To je v praxi často nežiaduce (zvyšuje sa odpor pri obtekaní či plávaní, lebo časť energie sa spotrebuje na tvorbu „zbytočných“ štruktúr), ale môže to byť aj užitočné (vo výmenníkoch tepla, v chemických reaktoroch). Turbulencia je tu a treba ju čo najlepšie pochopiť. Atakuje sa naozaj zložitou matematikou a komplikovanými experimentmi, ale aj počítačovými simuláciami (existuje vedná oblasť známa ako CDF, Computational Fluid Dynamics).

.aj ty, vzduch?
Navierove-Stokesove rovnice opisujú aj pohyb plynov, kde sa veci ešte viac komplikujú, lebo plyny sú navyše aj stlačiteľné. Sú to preto základné rovnice napríklad pre meteorológov, ale aj pre návrhárov áut či lietadiel. Prečo o tom nebudeme hovoriť? Sú na to dva dôvody. Po prvé, beží cyklus päť krát o vode. A po druhé (hlavný dôvod), pre vyriešenie miléniovej úlohy postačuje (pozrite si zadanie) zaoberať sa nestlačiteľnými tekutinami. Treba mať mieru, milión stačí.