Úlohu, ktorá bola spomínanou televíznou šou len nepriamo inšpirovaná, vymyslel v roku 1975 Steve Selvin a publikoval ju ako zaujímavú hračku v odbornom časopise American Statistician. Veľký záujem nevyvolala. O pätnásť rokov neskôr sa úloha objavila v stĺpčeku magazínu Parade. Nasledovali tisícky podráždených reakcií. Jednoduchá matematická úloha a jej jednoduché riešenie uverejnené v spoločenskom časopise vyvolali búrku polemík a kontroverzií v laických aj odborných kruhoch.
Úloha znela takto: Predstavte si, že ste v televíznej šou a môžete si vybrať jedny z troch dverí. Za jednými dverami je auto, za ostatnými sú kozy. Vyberiete si dvere, povedzme, že dvere číslo 1. Moderátor (ktorý vie, kde je auto) otvorí jedny zo zvyšných dvoch dverí, povedzme dvere číslo 3, za ktorými je koza. A potom sa spýta: „Nechcete si radšej vybrať dvere číslo 2?“ Je výhodné zmeniť svoj výber?
.nie
Ako je možné, že takáto banálna otázka bola schopná vyvolať obrovské vášne? Nuž, vášne nevyvolala otázka, ale odpovede na ňu. Vtip je v tom, že väčšina ľudí odpovie na túto otázku nesprávne a potom na svojej nesprávnej odpovedi trvá, aj keď im je trpezlivo a podrobne vysvetlená odpoveď správna.
A netýka sa to len bežných ľudí, rovnakú chybu robia aj profesionáli. Medzi tých, ktorí úlohu vyriešili zle, a potom dosť dlho trvali na svojom omyle, patrí napríklad aj legendárny matematik Paul Erdös. A autor tohto článku neskromne priznáva, že v tomto prípade sa Erdösovi úplne vyrovnal.
Tak aká je tá správna a aká typická nesprávna odpoveď? Ešte kým sa k tomu dostaneme, musíme otázku trochu upresniť. Z doterajšej formulácie úlohy totiž nie je jasné, či je otvorenie jedných „kozových“ dverí moderátorom dopredu dohodnutou súčasťou hry alebo či je spontánnou reakciou na váš prvý výber. Ak nejde o dopredu dohodnutú súčasť hry, t. j. ak moderátor nijaké dvere otvárať nemusí, a napriek tomu ich otvorí, potom vám svojím konaním dáva jasný signál, že váš prvý výber bol správny a že ste vyhrali auto.
V moderátorovom záujme je totiž vaša prehra (pre jednoduchosť predpokladajme, že ide o jeho nové auto). Ak teda zvolíte na prvý raz nesprávne dvere, nemá nijaký dôvod neukázať vám to a dávať vám šancu na reparát. Ak vám takú šancu dáva, treba tvrdohlavo trvať na svojom pôvodnom rozhodnutí.
Takto chápaná úloha však nie je príliš zaujímavá a nijaké vášne nevyvoláva. Oveľa zaujímavejšie je to v prípade, ak je moderátorova akcia súčasťou pravidiel hry. To znamená, že po vašom prvom výbere moderátor musí otvoriť jedny dvere, za ktorými auto nie je, a potom vám dať možnosť zmeniť svoje pôvodné rozhodnutie. Je v takomto prípade lepšie zmeniť svoju pôvodnú voľbu?
.áno
Správna odpoveď znie: áno, je to dvakrát lepšie. To znamená, že ak zmeníte svoju voľbu, zdvojnásobíte tým pravdepodobnosť výhry auta. Typická nesprávna odpoveď znie: je to úplne jedno. To znamená, že ak sa otvorili jedny dvere s kozou, potom sa auto nachádza s rovnakou pravdepodobnosťou za každými z neotvorených dverí.
Skúsme si ukázať, prečo je správne zmeniť svoju voľbu. Predstavme si hráča, ktorý svoje pôvodné rozhodnutie nikdy nemení. Koľkokrát vyhrá takýto hráč, ak sa bude hra veľakrát opakovať? Pri svojom prvom výbere má pravdepodobnosť výhry 1:3 a hneď po uskutočnení tohto výberu môžeme dvere otvoriť, pretože nech by sa dialo čokoľvek, on už svoje rozhodnutie nezmení. Pri veľakrát opakovanej hre teda získa auto približne v jednej tretine prípadov.
Ak by svoje rozhodnutie, naopak, vždy menil, vyhral by v zvyšných prípadoch (po moderátorovom vstupe ostanú už len dvoje dverí, takže ak nie je auto v pôvodne zvolených dverách, musí byť v tých druhých). Lenže tých zvyšných prípadov sú zhruba dve tretiny, takže takáto stratégia vedie k výhre približne v dvoch tretinách prípadov.
Ak si hráč myslí, že po moderátorovom vstupe je auto s rovnakou pravdepodobnosťou za jednými alebo druhými z neotvorených dverí, tak si môže hádzať korunou či eurom. V takom prípade vyhrá zhruba v polovici prípadov. Nuž a jedna polovica je síce viac ako jedna tretina, ale zas menej ako dve tretiny.
A to by malo byť všetko. Ale nie je. Skúsenosť hovorí, že mnohí ľudia sa akosi intuitívne bránia prijať toto vysvetlenie a bojujú proti nemu často rafinovanými a sofistikovanými (ale vždy nesprávnymi) argumentmi. Samotného Erdösa vraj presvedčilo až experimentálne hranie tejto hry pomocou počítačového programu. Takže ak sa tomu celému zdráhate uveriť, nie je na tom nič čudné.
A práve to je na celej veci najzaujímavejšie. Skutočnosť, že v otázkach pravdepodobnosti býva intuícia prekvapujúco zlým radcom, a to často aj v tých najjednoduchších úlohách. Kto si myslí, že ho intuícia v pravdepodobnostných otázkach neklame, nech skúsi rýchlo odpovedať napríklad na túto otázku: Ak je z dvoch súrodencov jeden chlapec, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec?
.kleofáš
Ech, mať tak euro za každého, kto si myslí, že je to 1 : 2. Správna odpoveď je 1 : 3, ale človeka to vždy znovu tak trochu prekvapí.
Prečo 1 : 3 a nie 1 : 2? Mohli by sme to prezradiť, ale nechceme pripraviť čitateľa o radosť zo samostatného vyriešenia tejto úlohy. Takže nič neprezradíme, akurát poskytneme malú pomôcku.
Tou pomôckou je iná otázka a odpoveď na ňu. Otázka znie: Ak je z dvoch súrodencov prvý chlapec, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec? Nuž a správna odpoveď je v tomto prípade 1 : 2 a nie 1 : 3.
Či už sme týmto u čitateľa dosiahli rozjasnenie, alebo naopak úplné zatmenie, v jednom sa asi všetci zhodneme – v pravdepodobnostných otázkach máme pozoruhodne zlú intuíciu. To nie je najlepšia správa, najmä keď si uvedomíme, koľko javov okolo nás má pravdepodobnostný charakter.
Žijeme v svete, v ktorom hrajú náhoda a pravdepodobnosť mimoriadne dôležitú úlohu a pritom sme pre porozumenie náhode a pravdepodobnosti len chabo vybavení. To má, samozrejme, svoje dôsledky. Niektorým z nich sa budeme venovať v ďalších článkoch tejto série o pravdepodobnosti. Dnes bolo naším cieľom ukázať len to, ako ľahko s nami zatočia aj celkom jednoduché pravdepodobnostné úlohy. A kto má pocit, že s ním nezatočia a že s ich pravdepodobnostnou intuíciou to nie je až také zlé, nech skúsi ešte jednu drobnú úlohu: Ak je z dvoch súrodencov jeden chlapec menom Kleofáš, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec? (Ech, mať tak euro za každého, kto si myslí, že je to 1 : 3 a nie 1 : 2.)
Úloha znela takto: Predstavte si, že ste v televíznej šou a môžete si vybrať jedny z troch dverí. Za jednými dverami je auto, za ostatnými sú kozy. Vyberiete si dvere, povedzme, že dvere číslo 1. Moderátor (ktorý vie, kde je auto) otvorí jedny zo zvyšných dvoch dverí, povedzme dvere číslo 3, za ktorými je koza. A potom sa spýta: „Nechcete si radšej vybrať dvere číslo 2?“ Je výhodné zmeniť svoj výber?
.nie
Ako je možné, že takáto banálna otázka bola schopná vyvolať obrovské vášne? Nuž, vášne nevyvolala otázka, ale odpovede na ňu. Vtip je v tom, že väčšina ľudí odpovie na túto otázku nesprávne a potom na svojej nesprávnej odpovedi trvá, aj keď im je trpezlivo a podrobne vysvetlená odpoveď správna.
A netýka sa to len bežných ľudí, rovnakú chybu robia aj profesionáli. Medzi tých, ktorí úlohu vyriešili zle, a potom dosť dlho trvali na svojom omyle, patrí napríklad aj legendárny matematik Paul Erdös. A autor tohto článku neskromne priznáva, že v tomto prípade sa Erdösovi úplne vyrovnal.
Tak aká je tá správna a aká typická nesprávna odpoveď? Ešte kým sa k tomu dostaneme, musíme otázku trochu upresniť. Z doterajšej formulácie úlohy totiž nie je jasné, či je otvorenie jedných „kozových“ dverí moderátorom dopredu dohodnutou súčasťou hry alebo či je spontánnou reakciou na váš prvý výber. Ak nejde o dopredu dohodnutú súčasť hry, t. j. ak moderátor nijaké dvere otvárať nemusí, a napriek tomu ich otvorí, potom vám svojím konaním dáva jasný signál, že váš prvý výber bol správny a že ste vyhrali auto.
V moderátorovom záujme je totiž vaša prehra (pre jednoduchosť predpokladajme, že ide o jeho nové auto). Ak teda zvolíte na prvý raz nesprávne dvere, nemá nijaký dôvod neukázať vám to a dávať vám šancu na reparát. Ak vám takú šancu dáva, treba tvrdohlavo trvať na svojom pôvodnom rozhodnutí.
Takto chápaná úloha však nie je príliš zaujímavá a nijaké vášne nevyvoláva. Oveľa zaujímavejšie je to v prípade, ak je moderátorova akcia súčasťou pravidiel hry. To znamená, že po vašom prvom výbere moderátor musí otvoriť jedny dvere, za ktorými auto nie je, a potom vám dať možnosť zmeniť svoje pôvodné rozhodnutie. Je v takomto prípade lepšie zmeniť svoju pôvodnú voľbu?
.áno
Správna odpoveď znie: áno, je to dvakrát lepšie. To znamená, že ak zmeníte svoju voľbu, zdvojnásobíte tým pravdepodobnosť výhry auta. Typická nesprávna odpoveď znie: je to úplne jedno. To znamená, že ak sa otvorili jedny dvere s kozou, potom sa auto nachádza s rovnakou pravdepodobnosťou za každými z neotvorených dverí.
Skúsme si ukázať, prečo je správne zmeniť svoju voľbu. Predstavme si hráča, ktorý svoje pôvodné rozhodnutie nikdy nemení. Koľkokrát vyhrá takýto hráč, ak sa bude hra veľakrát opakovať? Pri svojom prvom výbere má pravdepodobnosť výhry 1:3 a hneď po uskutočnení tohto výberu môžeme dvere otvoriť, pretože nech by sa dialo čokoľvek, on už svoje rozhodnutie nezmení. Pri veľakrát opakovanej hre teda získa auto približne v jednej tretine prípadov.
Ak by svoje rozhodnutie, naopak, vždy menil, vyhral by v zvyšných prípadoch (po moderátorovom vstupe ostanú už len dvoje dverí, takže ak nie je auto v pôvodne zvolených dverách, musí byť v tých druhých). Lenže tých zvyšných prípadov sú zhruba dve tretiny, takže takáto stratégia vedie k výhre približne v dvoch tretinách prípadov.
Ak si hráč myslí, že po moderátorovom vstupe je auto s rovnakou pravdepodobnosťou za jednými alebo druhými z neotvorených dverí, tak si môže hádzať korunou či eurom. V takom prípade vyhrá zhruba v polovici prípadov. Nuž a jedna polovica je síce viac ako jedna tretina, ale zas menej ako dve tretiny.
A to by malo byť všetko. Ale nie je. Skúsenosť hovorí, že mnohí ľudia sa akosi intuitívne bránia prijať toto vysvetlenie a bojujú proti nemu často rafinovanými a sofistikovanými (ale vždy nesprávnymi) argumentmi. Samotného Erdösa vraj presvedčilo až experimentálne hranie tejto hry pomocou počítačového programu. Takže ak sa tomu celému zdráhate uveriť, nie je na tom nič čudné.
A práve to je na celej veci najzaujímavejšie. Skutočnosť, že v otázkach pravdepodobnosti býva intuícia prekvapujúco zlým radcom, a to často aj v tých najjednoduchších úlohách. Kto si myslí, že ho intuícia v pravdepodobnostných otázkach neklame, nech skúsi rýchlo odpovedať napríklad na túto otázku: Ak je z dvoch súrodencov jeden chlapec, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec?
.kleofáš
Ech, mať tak euro za každého, kto si myslí, že je to 1 : 2. Správna odpoveď je 1 : 3, ale človeka to vždy znovu tak trochu prekvapí.
Prečo 1 : 3 a nie 1 : 2? Mohli by sme to prezradiť, ale nechceme pripraviť čitateľa o radosť zo samostatného vyriešenia tejto úlohy. Takže nič neprezradíme, akurát poskytneme malú pomôcku.
Tou pomôckou je iná otázka a odpoveď na ňu. Otázka znie: Ak je z dvoch súrodencov prvý chlapec, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec? Nuž a správna odpoveď je v tomto prípade 1 : 2 a nie 1 : 3.
Či už sme týmto u čitateľa dosiahli rozjasnenie, alebo naopak úplné zatmenie, v jednom sa asi všetci zhodneme – v pravdepodobnostných otázkach máme pozoruhodne zlú intuíciu. To nie je najlepšia správa, najmä keď si uvedomíme, koľko javov okolo nás má pravdepodobnostný charakter.
Žijeme v svete, v ktorom hrajú náhoda a pravdepodobnosť mimoriadne dôležitú úlohu a pritom sme pre porozumenie náhode a pravdepodobnosti len chabo vybavení. To má, samozrejme, svoje dôsledky. Niektorým z nich sa budeme venovať v ďalších článkoch tejto série o pravdepodobnosti. Dnes bolo naším cieľom ukázať len to, ako ľahko s nami zatočia aj celkom jednoduché pravdepodobnostné úlohy. A kto má pocit, že s ním nezatočia a že s ich pravdepodobnostnou intuíciou to nie je až také zlé, nech skúsi ešte jednu drobnú úlohu: Ak je z dvoch súrodencov jeden chlapec menom Kleofáš, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec? (Ech, mať tak euro za každého, kto si myslí, že je to 1 : 3 a nie 1 : 2.)
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.