Návrat ku Kleofášovi

Hoci pôvodne to nebolo v pláne. Úlohy boli myslené len ako ilustrácia našej slabej pravdepodobnostnej intuície a ich podrobnejší rozbor v spoločenskom týždenníku sa zdal extravaganciou za hranicou únosnosti. 

Lenže potom začali chodiť maily a sms-ky. Ukázalo sa, že najmä úloha o Kleofášovi vyvolala nečakane veľký záujem. A zdalo sa, že okrem záujmu vyvolala aj očakávanie, že sa k nej ešte vrátime. Takže sa vraciame. A súčasne sa ospravedlňujeme všetkým čitateľom, ktorí budú nasledujúci text považovať za nevhodný pre tento typ časopisu.

Podľa všetkého, čo vieme z biológie, a zároveň aj podľa všetkých dostupných štatistík je pohlavie druhého dieťaťa nezávislé od pohlavia prvého dieťaťa. Druhé dieťa teda bude s pravdepodobnosťou ½ dievča a s rovnakou pravdepodobnosťou to bude chlapec. (V skutočnosti nie sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké, ale rozdiel je len veľmi malý a takými detailmi sa tu zaoberať nebudeme.)

Sama osebe nie je táto úloha nijako zaujímavá. Zaujímavé je až to, ako sa zmení jej riešenie, ak zmeníme v zadaní jedno jediné slovo a aj to len trochu – konkrétne ide o zmenu slova „prvý“ na slovo „jeden“. Hoci, pravdu povediac, zmena sa vlastne týka dvoch slov. Slovo „druhý“ znamená totiž niečo iné v súvislosti so slovom „prvý“ a niečo iné v súvislosti so slovom „jeden“. V súvislosti so slovom „prvý“ znamená slovo „druhý“ druhého v poradí. V súvislosti so slovom „jeden“ znamená slovo „druhý“ toho zvyšného, ktorý môže byť z hľadiska poradia tak prvý, ako aj druhý. 

Takže druhá z našich troch úloh znela: Ak je z dvoch súrodencov jeden chlapec, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec? Teraz už treba trochu rozmýšľať.

Celkove máme štyri možnosti: prvý chlapec aj druhý chlapec, prvý chlapec a druhé dievča, prvé dievča a druhý chlapec, alebo obidve dievčatá. Každá z týchto možností je rovnako pravdepodobná a celkove sú štyri, takže pravdepodobnosť každej jednej z nich je ¼.

K tomu, že pravdepodobnosť každej z uvedených možností je práve jedna štvrtina, sa dá dospieť aj inou úvahou, ktorá sa nám neskôr zíde. Pravdepodobnosť toho, že prvé dieťa bude chlapec, je jedna polovica. Pravdepodobnosť toho, že aj druhé dieťa bude chlapec, je jedna polovica z tejto jednej polovice, t. j. jedna štvrtina (a rovnaký postup nám dá takúto pravdepodobnosť aj pre ďalšie tri možnosti). 

Tak, a teraz sa vráťme k našej úlohe. Ak vieme, že jeden zo súrodencov je chlapec, vylučuje to jednu zo spomínaných štyroch možností, a to tú, že obidve sú dievčatá. Zo štyroch rovnako pravdepodobných možností nám teda zostanú len tri a z nich len jedna vyhovuje požiadavke, aby okrem jedného chlapca bol aj druhý súrodenec chlapec. Nuž a ak máme tri rovnako pravdepodobné možnosti, z ktorých len jedna vyhovuje nejakej požiadavke, potom pravdepodobnosť splnenia tejto požiadavky je 1/3. 

Najzaujímavejšia z našich úloh znela takto: Ak je jeden z  dvoch súrodencov chlapec menom Kleofáš, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý je chlapec? Na prvý pohľad to vyzerá tak, že informácia o mene nijako neovplyvňuje pravdepodobnosti, takže riešenie by malo byť rovnaké ako v prípade druhej úlohy, ale to nie je správna úvaha. Vtip je v tom, že tentoraz máme dočinenia s nerovnako pravdepodobnými možnosťami. 

Možností je osem. Kleofáš-Nekleofáš, Nekleofáš-Kleofáš, Kleofáš-dievča, dievča-Kleofáš, Nekleofáš-Nekleofáš, Nekleofáš-dievča, dievča-Nekleofáš a dievča-dievča. Vzhľadom na zriedkavosť mena Kleofáš majú tieto možnosti veľmi rozdielne pravdepodobnosti. Prvé štyri sú oveľa menej pravdepodobné ako tie zvyšné.

Aké konkrétne sú tieto pravdepodobnosti? Vychádzame z toho, že pravdepodobnosť dievčaťa je rovná ½ a pravdepodobnosť Nekleofáša je prakticky tiež rovná ½ (všetci chlapci, až na zanedbateľné výnimky, sú Nekleofášovia a zanedbateľnými detailmi sa tu nezaoberáme). Pravdepodobnosť každej z prvých štyroch možností je teda rovná polovici zo zanedbateľnej pravdepodobnosti mena Kleofáš. (Poznámka pre znalcov: v týchto úvahách ignorujeme zvyk dávať prvorodenému synovi meno po otcovi – tento zvyk znižuje pravdepodobnosť možnosti Nekleofáš-Kleofáš v rodinách s otcom Kleofášom. Uváženie tohto zvyku komplikuje riešenie a mení výsledok.)

Pravdepodobnosť každej zo zvyšných štyroch možností je prakticky rovná ¼ (polovica z polovice). Informácia, že jeden zo súrodencov sa volá Kleofáš, však s pravdepodobnosťami poriadne zatočí. Vylúči štyri dovtedy najpravdepodobnejšie možnosti a ponechá v hre len to, čo bolo pôvodne veľmi nepravdepodobné. Pravdepodobnosti štyroch možností, ktoré zostali v hre, sú pritom rovnaké. Teraz už len stačí uvedomiť si, že v dvoch z týchto možností (Kleofáš-Nekleofáš a Nekleofáš-Kleofáš) je druhým súrodencom chlapec a v dvoch (Kleofáš-dievča a dievča-Kleofáš) je to dievča. V dvoch prípadoch zo štyroch teda bude druhým súrodencom Kleofáša chlapec a v ďalších dvoch prípadoch zo štyroch to bude dievča. Pravdepodobnosť toho, že Kleofášovým súrodencom bude chlapec (a rovnako aj pravdepodobnosť, že to bude dievča) je teda rovná ½. 

Riešenie úlohy s Kleofášom je založené na mimoriadnej zriedkavosti tohto mena. Náš postup nám však umožňuje nájsť výslednú pravdepodobnosť aj v prípade celkom bežného mena (aj keď to už bude zaujímať asi len znalcov alebo masochistov). 

Predstavme si, napríklad, že v budúcnosti sa až polovica slovenských chlapcov bude volať po otcovi-zakladateľovi samostatného Slovenska – Václavovi Klausovi. Ak bude v takom prípade jeden z dvoch súrodencov chlapec menom Václav, aká je pravdepodobnosť, že aj druhý bude chlapec?

Pravdepodobnosť toho, že dieťa je chlapec menom Václav, bude v tomto prípade rovná jednej štvrtine, a rovnaká bude aj pravdepodobnosť toho, že dieťa je chlapec s iným menom. Pravdepodobnosť možnosti Neváclav-Václav bude 1/16 (štvrtina zo štvrtiny). Pravdepodobnosť možnosti Václav-Neváclav bude iná. Dôvod je ten, že súrodenci majú prakticky vždy iné mená, takže ak je prvý chlapec Václav, druhý už Václav byť nemôže (pri Kleofášovi sme na to neupozornili, pretože tam to má zanedbateľné dôsledky). To znamená, že ak sa Václavovi narodí brat (čo sa stane s pravdepodobnosťou ½) potom to automaticky bude Neváclav. Takže pravdepodobnosť možnosti Václav-Neváclav bude 1/8 (polovica zo štvrtiny).

V troch prípadoch zo šestnástich teda bude Václavovým súrodencom brat (1/16 je za možnosť Neváclav-Václav a 1/8 = 2/16 je za možnosť Václav-Neváclav). S možnosťami Václav-dievča a dievča-Václav je to jednoduché, každá z nich má pravdepodobnosť 1/8 (polovica zo štvrtiny). Václavovým súrodencom teda bude sestra v štyroch prípadoch zo šestnástich (1/8 = 2/16 je za možnosť Václav-dievča a 1/8 = 2/16 je za možnosť dievča-Václav).

Zvyšok pripadá na možnosti, v ktorých sa ani jeden zo súrodencov nevolá Václav. Informácia o tom, že jedno z detí je Václav, zmení pravdepodobnosti týchto možností na nulu, pričom pravdepodobnosti ostatných možností vzrastú, tak aby celková pravdepodobnosť bola vždy rovná 1. V prípade Václava s bratom vzrastie pravdepodobnosť z 3/16 na 3/7 a v prípade Václava so sestrou z 4/16 na 4/7 (pretože 3/7 + 4/7 = 1, ale toto je asi najzložitejšia časť celého argumentu a treba si ju poriadne premyslieť). A tým už sme na otázku odpovedali: ak je jedno z detí chlapec menom Václav, potom sa pravdepodobnosť toho, že druhé dieťa je chlapec, rovná 3/7.

A na záver už len slová útechy pre tých, ktorí to celé nepochopili alebo pochopili len s priveľkou námahou. Neznepokojujte sa tým, je to úplne v poriadku. Veď to celé malo vlastne jediný cieľ – ukázať, koľko námahy od nás vyžadujú aj celkom jednoduché pravdepodobnostné úlohy. Ak by ste to zvládli bez námahy, vyšla by autorova námaha celkom nazmar.