Zákon malých čísiel

Cesta dvoch matematicky vzdelaných psychológov k Nobelovej cene za ekonómiu sa začala ich spoločným článkom z roku 1971. Článok sa volal Viera v zákon malých čísiel a jeho názov odkazoval na jednu z najslávnejších matematických teorém – na takzvaný zákon veľkých čísiel. A bol to názov ironický.

Terčom irónie nebol nikto konkrétny, boli sme ním my všetci. Základnou tézou článku bolo, že „ľudia majú v oblasti náhody silnú intuíciu, táto intuícia je v zásadných bodoch chybná, a to nielen u bežných ľudí, ale aj u vedcov“. U tých posledne menovaných to podľa Kahnemana a Tverského dokonca často vedie k nesprávnej interpretácii výsledkov vedeckého výskumu. 

Bernoulliho zlatá teoréma, t.j. zákon veľkých čísiel, má v teórii pravdepodobnosti celkom výnimočné postavenie. Nielenže je to v nejakom zmysle najdôležitejší zákon celej tejto teórie, ale je to zákon vskutku základný – bez neho by totiž vôbec nebola možná dostatočne všeobecná a pritom rozumná definícia pojmu pravdepodobnosti.

Začiatky teórie pravdepodobnosti spadajú do 16. storočia a týkajú sa – čoho iného – hazardných hier. Vtedy sa ľudia naučili vypočítať pravdepodobnosť toho, že v hre Oko alebo Blackjack dostane hráč na ruku 21 bodov, alebo že mu pri hre v kocky padne šestka trikrát po sebe. 

Všetky tieto výpočty boli založené na predpoklade, že pravdepodobnosť vytiahnutia karty z balíčka je pre všetky karty rovnaká, a podobne že je rovnaká pravdepodobnosť padnutia ľubovoľného zo šiestich možných čísiel pri hode kockou. Z tohto predpokladu vyplývalo, že pravdepodobnosť vytiahnutia ľubovoľnej konkrétnej karty z balíčka mariášových kariet je 1/32 (v prípade bridžových kariet je to 1/52) a že pravdepodobnosť padnutia ľubovoľného konkrétneho čísla na kocke je 1/6. Z týchto základných pravdepodobností sa potom počítali všetky ostatné.

Toto sa však dá robiť len vtedy, ak sú všetky základné pravdepodobnosti rovnaké. V reálnom svete však celkom rovnaké byť nemusia. Čo ak máme, napríklad, dočinenia s falošnou kockou, na ktorej padá šestka častejšie ako ostatné čísla? Ako zistíme pravdepodobnosti v takomto prípade?

Na prvý pohľad je to celkom jednoduchá otázka. Hodíme kockou povedzme 

1000-krát, a ak nám padne šestka 200-krát, potom povieme, že pravdepodobnosť je 200/1000, čo je vlastne 1/5. Ale to je blbosť. 

Aj s ideálnou kockou sa nám totiž môže stať, že z tisíc pokusov nám padne dvesto šestiek, a na druhej strane, aj keby bola pravdepodobnosť šestky rovná 1/5, vôbec to neznamená, že nám pri tisícke pokusov musí padnúť šestka presne dvestokrát. To znamená, že na základe takéhoto pokusu nevieme priradiť pravdepodobnosti jednotlivým výsledkom. Lenže, ak to nevieme urobiť takto, tak potom ako sa to vôbec dá urobiť? 

V reálnom svete sa pravdepodobnosť zdá ako úhor, ktorý nám vykĺzava z rúk už len pri pokuse o jej definovanie. Genialita Jacoba Bernoulliho spočívala, okrem iného, v tom, že našiel spôsob, ako zmysluplne definovať pravdepodobnosť v reálnom svete. Nástroj, ktorý na to použil, bol prekvapujúci a spôsob, akým to urobil, bol veľmi sofistikovaný. Bernoulli definoval pravdepodobnosť pomocou pravdepodobnosti.

Uvedomil si totiž, že nech už je pravdepodobnosť padnutia šestky akákoľvek – či už 1/6, alebo 1/5 alebo čokoľvek iné – na základe tejto pravdepodobnosti sa dá vypočítať pravdepodobnosť toho, že z tisícky pokusov padne šestka v nejakom konkrétnom počte prípadov (napríklad 200 alebo akýkoľvek iný počet). Takéto výpočty potom umožňujú klásť si otázky typu: ak padla šestka 200-krát z 1000, o koľko je pravdepodobnejšie, že pravdepodobnosť padnutia šestky je 1/5, než že je to 1/6?

Bernoulli dokázal– a dôkaz to bol veľmi zložitý a ťažký – že ak sa počet pokusov blíži k nekonečnu, potom s pravdepodobnosťou hraničiacou s istotou je pomer počtu priaznivých prípadov k počtu všetkých prípadov rovný skutočnej pravdepodobnosti daného javu. Práve toto tvrdenie sa volá zákon veľkých čísiel.

Na prvý pohľad to nemusí vyzerať ako nejaký úžasný výsledok, ale v skutočnosti je to naozaj zlatá teoréma. Až vďaka tomuto zákonu totiž vieme zisťovať pravdepodobnosti aj v situáciách zložitejších než sú jednoduché hazardné hry. Zisťujeme ich experimentálne a len približne, pričom čím viac pokusov vykonáme, tým presnejšie je naše určenie skúmanej pravdepodobnosti.

To, že pravdepodobnosť sa dá určovať experimentálne ako pomer počtu priaznivých prípadov k počtu všetkých prípadov, väčšinu z nás nijako zvlášť neprekvapí. Intuitívne čosi také očakávame, a tak nás prekvapí skôr to, že s tým matematici robia také „caviky“ a nazývajú to zlatou teorémou.

Nuž, intuícia je v tomto prípade celkom dobrým a zároveň veľmi zlým radcom. Dobrým preto, lebo nás obdivuhodnou skratkou vedie k podstate zákona veľkých čísiel bez toho, aby sme čo len tušili o zložitostiach a jemnostiach, s ktorými sa trápil Bernoulli. Nuž, a zlým preto, lebo intuícia nepracuje s veľkými číslami. Pracuje s malými číslami a narába s nimi tak, ako keby to boli čísla veľké.

Skúsme malý príklad. Predstavme si, že putujeme v hlbokom pustom lese, v ktorom je možné ísť hodiny a hodiny a nestretnúť pri tom živú dušu. Počas niekoľkých dní stretneme trikrát medveďa, raz Mečiara a to je všetko. Koľkokrát pravdepodobnejšie je stretnúť v danom lese medveďa ako toho druhého?

Drvivá väčšina z nás je náchylná povedať, že pravdepodobnosť výskytu medveďa v danom lese je trikrát väčšia, ako pravdepodobnosť výskytu Mečiara. Toto je typické použitie zákona malých čísiel, ako ho pejoratívne nazvali Kahneman a Tversky. Pomer počtu stretnutí s medveďom k počtu všetkých stretnutí tu interpretujeme ako pravdepodobnosť, ale keďže pracujeme s malými číslami namiesto veľkých, skutočná pravdepodobnosť sa môže od nášho „výsledku“ značne líšiť.

Predstavme si, napríklad, že v danom lese žije len jeden medveď (ktorého sme stretli trikrát). V takom prípade sú pravdepodobnosti stretnúť medveďa a Mečiara rovnaké, ale pritom vôbec nie je vylúčené, že zo štyroch stretnutí budú tri s medveďom. Také niečo sa môže stať celkom ľahko – pravdepodobnosť tohto javu je 25 %.

Nesprávny odhad pravdepodobnosti môže mať, samozrejme, rôzne neblahé dôsledky, najmä ak sa takýchto nesprávnych odhadov dopúšťame systematicky.  Kahneman a Tversky ako prví upozornili na to, že podobné chyby môžu viesť a často aj vedú k nesprávnym kvalitatívnym záverom. 

Ak by sme chceli pokračovať v našom príklade s lesom, v ktorom žije len jeden medveď, potom trojnásobné nadhodnotenie pravdepodobnosti výskytu medveďa by mohlo ľahko viesť k záveru o premnožení medveďov v našich lesoch. Ale takýto názor by bol nepodložený a unáhlený (nehovoriac o tom, že na Slovensku je v skutočnosti premnožený Mečiar). 

Kahneman a Tversky si všimli, že neadekvátne úsudky tohto typu sa robia, a to aj vo vedeckom výskume, celkom bežne. Že ľudia často robia intuitívne závery na základe preskúmania príliš malého počtu prípadov. Toto zistenie odštartovalo ich mnoho rokov trvajúci spoločný výskum týkajúci sa psychológie nášho vnímania pravdepodobnosti. Mnohé z Kahnemanových a Tverského objavov boli zaujímavé nielen samy osebe, mimoriadne dôležité boli aj ich dôsledky, napríklad v práve a ekonómii. A práve tieto dôsledky viedli nakoniec až k Nobelovej cene.

A aké z toho plynie ponaučenie? Nuž, asi len také, že čo sa týka pravdepodobnosti, nemali by sme našej intuícii príliš dôverovať. Ale to vlastne nie je nič nové. Ako raz povedal Tversky,  väčšina vecí, ktoré s Kahnemanom objavili, bola už dávno predtým dobre známe všetkým reklamným agentom a predajcom ojazdených áut.