Predchádzajúca pätica článkov v rubrike .veda bola venovaná pravdepodobnosti. Uvažovanie o pravdepodobnosti nás priviedlo až k otázke vzťahu medzi náhodou a nevyhnutnosťou. Dnes sa skúsime posunúť ešte o jeden krok ďalej a pozrieť sa na vzťah medzi chaosom a poriadkom.
Z hľadiska prírodných zákonov je tento vzťah pomerne zaujímavý. Niektoré fyzikálne zákony sú dôsledkom chaosu a iné fyzikálne zákony zas k chaosu vedú. Jedno aj druhé je prekvapujúce.
V akom zmysle vzniká vo fyzike z chaosu poriadok a z poriadku chaos? Spýtali sme sa dvoch ľudí z univerzity, ktorú v poslednom čase preslávil najmä doktor Labaš. Ale nie všetci sú Labašovia. Na tej univerzite učí napríklad aj fyzik Vlado Černý a matematik Pavol Brunovský.
S Vladom Černým o chaose a zákonoch
.niektoré prísne deterministické fyzikálne zákony majú svoj pôvod v úplne náhodných procesoch. Ako je niečo také možné?
Je to možné tak, že mnohé fyzikálne systémy sa skladajú z molekúl, ktorých je strašne, strašne, strašne veľa. Individuálne chovanie každej molekuly vyzerá veľmi náhodne, chaoticky a nepredvídateľne, ale štatisticky sa to ako celok správa v mnohých ohľadoch úplne predvídateľne a podľa jasných zákonov. Napríklad energia jednej molekuly sa môže všelijako chaoticky meniť, ale priemerná energia je veľmi stabilná veličina a zodpovedá tomu, čomu v bežnom živote hovoríme teplota. Podobná veličina je tlak. Keď nafukujem balónik, tak guma balónika je zvnútra bombardovaná molekulami. Niekedy na ňu dopadne menej molekúl, niekedy viac, a to sa mení celkom chaoticky. Ale v priemere je to stabilná vec, ktorú cítime ako tlak.
.čiže nielen zákony, ale aj samotné veličiny ako teplota a tlak sú vlastne prejavom chaosu na úrovni molekúl?
Áno. Zákony termodynamiky a rovnako aj jej základné veličiny majú svoj pôvod v chaotickom pohybe molekúl. Tento ich pôvod sa prejavuje v tom, že zákony ani veličiny nie sú úplne presné. Ale nepresnosť sa prejavuje až na nejakom trinástom desatinnom mieste, takže sa ňou prakticky nikdy nemusíme zaoberať.
.akú úlohu v tom hrá skutočnosť, že molekúl je strašne veľa?
Úplne zásadnú. Skúsim to vysvetliť na príklade. Keď nejaká agentúra zisťuje preferencie politickej strany, tak sa spýta niekoľkých ľudí, či by tú stranu volili. Keď to urobí so sto ľuďmi a z nich dvadsaťpäť by stranu volilo, dostane preferencie 25 %. Zdanlivo rovnaký výsledok dostane, ak nájde dvestopäťdesiat priaznivcov strany v tisícke respondentov. Tieto výsledky sa však líšia, v prvom prípade je to v skutočnosti 25±5 %, zatiaľ čo v druhom 25±1.5 %. Čím väčšia vzorka, tým menšia štatistická chyba. A v prípade molekúl robíme prieskum na vzorke, ktorá obsahuje 1026 respondentov.
.ale molekúl sa v skutočnosti na nič nepýtame...
Ale môžeme si predstaviť, že sa ich pýtame. Napríklad na to, akú majú energiu. Jednotlivé odpovede môžu byť z pomerne širokého intervalu energií, ale v priemere dostaneme jednu konkrétnu hodnotu energie s veľmi malou štatistickou chybou. Táto priemerná hodnota je v skutočnosti práve to, čo bežne poznáme pod menom teplota. Teplota je v skutočnosti priemerná odpoveď molekuly na otázku „Akú máš teraz energiu?“.
.hm, a nie je teplota náhodou to, čo merajú teplomery?
Je, ale teplomery sú v podstate zariadenia, ktoré akosi automaticky vykonávajú spomínaný prieskum. A to, čo ukazujú teplomery alebo tlakomery sú akési priemerné hodnoty. Ak by sme merali teplotu alebo tlak systému s malým počtom molekúl, potom by ručičky týchto prístrojov poskakovali okolo nejakej strednej hodnoty a to v rámci spomínanej štatistickej chyby. Keďže je však táto chyba pri obrovskom počte molekúl veľmi malá, tak veličiny ako teplotu a tlak považujeme za presné. A rovnako je to aj so vzťahmi medzi týmito veličinami, ktoré sú obsahom termodynamických fyzikálnych zákonov. Aj tie sú v princípe nepresné, ale s veľmi malou štatistickou chybou.
.a čo je vlastne tá štatistická chyba?
Vráťme sa k nášmu príkladu s prieskumom volebných preferencií. Ak by sme sa na ne spýtali inej stovky či tisícky ľudí, nemuseli by sme dostať znova presne dvadsaťpäť, respektíve dvestopäťdesiat priaznivcov uvažovanej strany. V skutočnosti vieme povedať len toľko, že výsledok druhého prieskumu bude s veľkou pravdepodobnosťou ležať niekde okolo výsledku prvého prieskumu. Štatistická chyba je v podstate vyjadrením toho, aké veľké je toto „okolo“. A platí také zaujímavé štatistické pravidlo, že veľkosť tohto „okolo“ je daná odmocninou z počtu zisteného prvým prieskumom. Ak teda prvý prieskum našiel dvadsaťpäť priaznivcov strany, potom to „okolo“ je plus mínus odmocnina z dvadsaťpäť, čo je päť. Zo stovky respondentov tak dostaneme tých 25±5 %. Na druhej strane odmocnina z 250 je niečo okolo 16, čo je pri tisícke respondentov zhruba jeden a pol percenta.
.vlastnosti látok sú vlastne prejavom vlastností molekúl, z ktorých sú tieto látky zložené. Majú všetky vlastnosti látok povahu prieskumov verejnej mienky?
V podstate áno. Všetky makroskopicky merateľné vlastnosti látok majú túto povahu. A všetky makroskopické fyzikálne zákony týkajúce sa telies zložených z molekúl majú tiež túto povahu. Dokonca aj padanie Newtonovho jablka, ktoré je asi najznámejším príkladom úplne presného deterministického procesu, je v skutočnosti padaním všetkých jeho molekúl, a preto má takúto štatistickú povahu.
S Pavlom Brunovským o zákonoch a chaose
.niektoré úplne chaotické javy sú výsledkom úplne deterministických fyzikálnych zákonov. Ako je niečo také možné?
Z matematického hľadiska je ten determinizmus vyjadrený rovnicami, ktoré opisujú časový vývoj nejakej veci. Tie rovnice umožňujú vypočítať zo známeho počiatočného stavu celý neskorší priebeh. A o chaose hovoríme v prípade takýchto rovníc vtedy, ak ich riešenia veľmi citlivo závisia od týchto počiatočných podmienok. Tak citlivo, že aj veľmi malá odchýlka v počiatočných podmienkach vedie k dramatickým rozdielom v neskoršom priebehu. Asi najlepší príklad je počasie, kde sa táto citlivá závislosť opisuje známym prirovnaním, že ak motýľ niekde zamáva krídlami, tak sa to po čase prejaví na výraznej zmene počasia na opačnej strane zemegule.
.ten príklad je naozaj veľmi známy, ale je dobrý? Veď počasie je v nejakom zmysle veľmi stabilné. Monzúny sa budú striedať so železnou pravidelnosťou, aj keď budú motýle celého sveta mávať krídlami ako besné.
Sú situácie, keď je počasie robustné – to znamená, že malé odchýlky sa s narastajúcim časom utlmujú, na rozdiel od chaosu, kde odchýlky exponenciálne narastajú. V robustných situáciách sa dá budúcnosť dosť dobre predpovedať. Ale sú iné situácie, keď sa to nedá. Skúsim to povedať na inom príklade. Ak kvapneme kvapku niekde na Kráľovej holi, tak nevieme predpovedať, či tá kvapka skončí v Baltickom alebo v Čiernom mori. Malinké zmeny v polohe a rýchlosti kvapky môžu výsledok úplne zmeniť, a preto nevieme tento výsledok spoľahlivo predpovedať. Ale keď tú kvapku kvapneme niekde pri dolnom toku Váhu, tak vieme určite, že skončí v Čiernom mori. Takže v niektorých situáciách je budúcnosť jasná a v iných úplne nepredvídateľná.
.súvisí táto nepredvídateľnosť s tým, že kvapka aj atmosféra sa skladajú z veľkého množstva molekúl?
Nie, toto je niečo iné. Rovnice pre zmeny teploty, vlhkosti a pohyb atmosféry síce v nejakom zmysle pochádzajú z procesov na úrovni molekúl, ale v tých rovniciach už to explicitne obsiahnuté nie je. Tie rovnice už o molekulách nič nevedia a keď sa ich riešenia chovajú chaoticky, je to niečo celkom iné ako molekulárny chaos. V prípade počasia je to dokonca tak, že aj keď rovnice opisujúce fyziku atmosféry veľmi zjednodušíme, stále budú vykazovať chaotické správanie. A v takom prípade môžeme dokonca úplne zabudnúť odkiaľ rovnice pochádzajú a skúmať ich len ako matematické objekty. A ten iný, nemolekulárny chaos tam stále bude. V tom zmysle, že keď vyštartujeme z ľubovoľne blízkych počiatočných podmienok, tak po určitom čase sa dostaneme do veľmi vzdialených stavov, pričom zo znalosti jedného z týchto stavov nevieme povedať o tom druhom vôbec nič.
.čiže ani prísne deterministické rovnice časového vývoja ešte nezaručujú spoľahlivé predpovedanie budúcnosti?
Nezaručujú. V mnohých prípadoch by sme totiž na spoľahlivé predpovede potrebovali poznať počiatočný stav s nekonečnou presnosťou, čo prakticky nikdy nie je možné. A túto vlastnosť majú aj také známe deterministické rovnice ako sú rovnice nebeskej mechaniky. Aj tie sú chaotické a vedú k nepredpovedateľným odchýlkam, aj keď len na veľmi veľkej časovej škále. Takže v astronómii vieme na základe riešenia týchto rovníc predpovedať napríklad zatmenia Slnka s veľmi dobrou presnosťou, ak sa obmedzíme na tisícky rokov. Ale v časovom horizonte o mnoho rádov väčšom už naše predpovede budú úplne nespoľahlivé.
.tak tomu by sa asi Newton a Laplace dosť čudovali...
Keby len oni. Fenomén deterministického chaosu má svoj prapôvod v objekte so strašidelným názvom „transverzálna homoklinická orbita“. Objavil ju koncom 19. storočia Henri Poincaré v práci, ocenenej cenou švédskeho kráľa Oscara. Ten ju vypísal za riešenie problému z nebeskej mechaniky, súvisiaceho so stabilitou slnečnej sústavy. O originalite objavu svedčí to, že sám Poincaré ho najprv prehliadol. Keď si to uvedomil, bol už článok publikovaný. Poincaré zaplatil stiahnutie celého čísla časopisu a vydanie nového, s opravenou verziou článku. Stálo ho to vraj viac, než predstavovala tá cena.
.kto by dnes urobil niečo také?
Nájde sa. Ruský matematik Pereľman odmietol nedávno najprestížnejšie matematické ocenenie Fieldsovu medailu za vyriešenie Poincarého hypotézy, ktorá je však o niečom inom...
Z hľadiska prírodných zákonov je tento vzťah pomerne zaujímavý. Niektoré fyzikálne zákony sú dôsledkom chaosu a iné fyzikálne zákony zas k chaosu vedú. Jedno aj druhé je prekvapujúce.
V akom zmysle vzniká vo fyzike z chaosu poriadok a z poriadku chaos? Spýtali sme sa dvoch ľudí z univerzity, ktorú v poslednom čase preslávil najmä doktor Labaš. Ale nie všetci sú Labašovia. Na tej univerzite učí napríklad aj fyzik Vlado Černý a matematik Pavol Brunovský.
S Vladom Černým o chaose a zákonoch
.niektoré prísne deterministické fyzikálne zákony majú svoj pôvod v úplne náhodných procesoch. Ako je niečo také možné?
Je to možné tak, že mnohé fyzikálne systémy sa skladajú z molekúl, ktorých je strašne, strašne, strašne veľa. Individuálne chovanie každej molekuly vyzerá veľmi náhodne, chaoticky a nepredvídateľne, ale štatisticky sa to ako celok správa v mnohých ohľadoch úplne predvídateľne a podľa jasných zákonov. Napríklad energia jednej molekuly sa môže všelijako chaoticky meniť, ale priemerná energia je veľmi stabilná veličina a zodpovedá tomu, čomu v bežnom živote hovoríme teplota. Podobná veličina je tlak. Keď nafukujem balónik, tak guma balónika je zvnútra bombardovaná molekulami. Niekedy na ňu dopadne menej molekúl, niekedy viac, a to sa mení celkom chaoticky. Ale v priemere je to stabilná vec, ktorú cítime ako tlak.
.čiže nielen zákony, ale aj samotné veličiny ako teplota a tlak sú vlastne prejavom chaosu na úrovni molekúl?
Áno. Zákony termodynamiky a rovnako aj jej základné veličiny majú svoj pôvod v chaotickom pohybe molekúl. Tento ich pôvod sa prejavuje v tom, že zákony ani veličiny nie sú úplne presné. Ale nepresnosť sa prejavuje až na nejakom trinástom desatinnom mieste, takže sa ňou prakticky nikdy nemusíme zaoberať.
.akú úlohu v tom hrá skutočnosť, že molekúl je strašne veľa?
Úplne zásadnú. Skúsim to vysvetliť na príklade. Keď nejaká agentúra zisťuje preferencie politickej strany, tak sa spýta niekoľkých ľudí, či by tú stranu volili. Keď to urobí so sto ľuďmi a z nich dvadsaťpäť by stranu volilo, dostane preferencie 25 %. Zdanlivo rovnaký výsledok dostane, ak nájde dvestopäťdesiat priaznivcov strany v tisícke respondentov. Tieto výsledky sa však líšia, v prvom prípade je to v skutočnosti 25±5 %, zatiaľ čo v druhom 25±1.5 %. Čím väčšia vzorka, tým menšia štatistická chyba. A v prípade molekúl robíme prieskum na vzorke, ktorá obsahuje 1026 respondentov.
.ale molekúl sa v skutočnosti na nič nepýtame...
Ale môžeme si predstaviť, že sa ich pýtame. Napríklad na to, akú majú energiu. Jednotlivé odpovede môžu byť z pomerne širokého intervalu energií, ale v priemere dostaneme jednu konkrétnu hodnotu energie s veľmi malou štatistickou chybou. Táto priemerná hodnota je v skutočnosti práve to, čo bežne poznáme pod menom teplota. Teplota je v skutočnosti priemerná odpoveď molekuly na otázku „Akú máš teraz energiu?“.
.hm, a nie je teplota náhodou to, čo merajú teplomery?
Je, ale teplomery sú v podstate zariadenia, ktoré akosi automaticky vykonávajú spomínaný prieskum. A to, čo ukazujú teplomery alebo tlakomery sú akési priemerné hodnoty. Ak by sme merali teplotu alebo tlak systému s malým počtom molekúl, potom by ručičky týchto prístrojov poskakovali okolo nejakej strednej hodnoty a to v rámci spomínanej štatistickej chyby. Keďže je však táto chyba pri obrovskom počte molekúl veľmi malá, tak veličiny ako teplotu a tlak považujeme za presné. A rovnako je to aj so vzťahmi medzi týmito veličinami, ktoré sú obsahom termodynamických fyzikálnych zákonov. Aj tie sú v princípe nepresné, ale s veľmi malou štatistickou chybou.
.a čo je vlastne tá štatistická chyba?
Vráťme sa k nášmu príkladu s prieskumom volebných preferencií. Ak by sme sa na ne spýtali inej stovky či tisícky ľudí, nemuseli by sme dostať znova presne dvadsaťpäť, respektíve dvestopäťdesiat priaznivcov uvažovanej strany. V skutočnosti vieme povedať len toľko, že výsledok druhého prieskumu bude s veľkou pravdepodobnosťou ležať niekde okolo výsledku prvého prieskumu. Štatistická chyba je v podstate vyjadrením toho, aké veľké je toto „okolo“. A platí také zaujímavé štatistické pravidlo, že veľkosť tohto „okolo“ je daná odmocninou z počtu zisteného prvým prieskumom. Ak teda prvý prieskum našiel dvadsaťpäť priaznivcov strany, potom to „okolo“ je plus mínus odmocnina z dvadsaťpäť, čo je päť. Zo stovky respondentov tak dostaneme tých 25±5 %. Na druhej strane odmocnina z 250 je niečo okolo 16, čo je pri tisícke respondentov zhruba jeden a pol percenta.
.vlastnosti látok sú vlastne prejavom vlastností molekúl, z ktorých sú tieto látky zložené. Majú všetky vlastnosti látok povahu prieskumov verejnej mienky?
V podstate áno. Všetky makroskopicky merateľné vlastnosti látok majú túto povahu. A všetky makroskopické fyzikálne zákony týkajúce sa telies zložených z molekúl majú tiež túto povahu. Dokonca aj padanie Newtonovho jablka, ktoré je asi najznámejším príkladom úplne presného deterministického procesu, je v skutočnosti padaním všetkých jeho molekúl, a preto má takúto štatistickú povahu.
S Pavlom Brunovským o zákonoch a chaose
.niektoré úplne chaotické javy sú výsledkom úplne deterministických fyzikálnych zákonov. Ako je niečo také možné?
Z matematického hľadiska je ten determinizmus vyjadrený rovnicami, ktoré opisujú časový vývoj nejakej veci. Tie rovnice umožňujú vypočítať zo známeho počiatočného stavu celý neskorší priebeh. A o chaose hovoríme v prípade takýchto rovníc vtedy, ak ich riešenia veľmi citlivo závisia od týchto počiatočných podmienok. Tak citlivo, že aj veľmi malá odchýlka v počiatočných podmienkach vedie k dramatickým rozdielom v neskoršom priebehu. Asi najlepší príklad je počasie, kde sa táto citlivá závislosť opisuje známym prirovnaním, že ak motýľ niekde zamáva krídlami, tak sa to po čase prejaví na výraznej zmene počasia na opačnej strane zemegule.
.ten príklad je naozaj veľmi známy, ale je dobrý? Veď počasie je v nejakom zmysle veľmi stabilné. Monzúny sa budú striedať so železnou pravidelnosťou, aj keď budú motýle celého sveta mávať krídlami ako besné.
Sú situácie, keď je počasie robustné – to znamená, že malé odchýlky sa s narastajúcim časom utlmujú, na rozdiel od chaosu, kde odchýlky exponenciálne narastajú. V robustných situáciách sa dá budúcnosť dosť dobre predpovedať. Ale sú iné situácie, keď sa to nedá. Skúsim to povedať na inom príklade. Ak kvapneme kvapku niekde na Kráľovej holi, tak nevieme predpovedať, či tá kvapka skončí v Baltickom alebo v Čiernom mori. Malinké zmeny v polohe a rýchlosti kvapky môžu výsledok úplne zmeniť, a preto nevieme tento výsledok spoľahlivo predpovedať. Ale keď tú kvapku kvapneme niekde pri dolnom toku Váhu, tak vieme určite, že skončí v Čiernom mori. Takže v niektorých situáciách je budúcnosť jasná a v iných úplne nepredvídateľná.
.súvisí táto nepredvídateľnosť s tým, že kvapka aj atmosféra sa skladajú z veľkého množstva molekúl?
Nie, toto je niečo iné. Rovnice pre zmeny teploty, vlhkosti a pohyb atmosféry síce v nejakom zmysle pochádzajú z procesov na úrovni molekúl, ale v tých rovniciach už to explicitne obsiahnuté nie je. Tie rovnice už o molekulách nič nevedia a keď sa ich riešenia chovajú chaoticky, je to niečo celkom iné ako molekulárny chaos. V prípade počasia je to dokonca tak, že aj keď rovnice opisujúce fyziku atmosféry veľmi zjednodušíme, stále budú vykazovať chaotické správanie. A v takom prípade môžeme dokonca úplne zabudnúť odkiaľ rovnice pochádzajú a skúmať ich len ako matematické objekty. A ten iný, nemolekulárny chaos tam stále bude. V tom zmysle, že keď vyštartujeme z ľubovoľne blízkych počiatočných podmienok, tak po určitom čase sa dostaneme do veľmi vzdialených stavov, pričom zo znalosti jedného z týchto stavov nevieme povedať o tom druhom vôbec nič.
.čiže ani prísne deterministické rovnice časového vývoja ešte nezaručujú spoľahlivé predpovedanie budúcnosti?
Nezaručujú. V mnohých prípadoch by sme totiž na spoľahlivé predpovede potrebovali poznať počiatočný stav s nekonečnou presnosťou, čo prakticky nikdy nie je možné. A túto vlastnosť majú aj také známe deterministické rovnice ako sú rovnice nebeskej mechaniky. Aj tie sú chaotické a vedú k nepredpovedateľným odchýlkam, aj keď len na veľmi veľkej časovej škále. Takže v astronómii vieme na základe riešenia týchto rovníc predpovedať napríklad zatmenia Slnka s veľmi dobrou presnosťou, ak sa obmedzíme na tisícky rokov. Ale v časovom horizonte o mnoho rádov väčšom už naše predpovede budú úplne nespoľahlivé.
.tak tomu by sa asi Newton a Laplace dosť čudovali...
Keby len oni. Fenomén deterministického chaosu má svoj prapôvod v objekte so strašidelným názvom „transverzálna homoklinická orbita“. Objavil ju koncom 19. storočia Henri Poincaré v práci, ocenenej cenou švédskeho kráľa Oscara. Ten ju vypísal za riešenie problému z nebeskej mechaniky, súvisiaceho so stabilitou slnečnej sústavy. O originalite objavu svedčí to, že sám Poincaré ho najprv prehliadol. Keď si to uvedomil, bol už článok publikovaný. Poincaré zaplatil stiahnutie celého čísla časopisu a vydanie nového, s opravenou verziou článku. Stálo ho to vraj viac, než predstavovala tá cena.
.kto by dnes urobil niečo také?
Nájde sa. Ruský matematik Pereľman odmietol nedávno najprestížnejšie matematické ocenenie Fieldsovu medailu za vyriešenie Poincarého hypotézy, ktorá je však o niečom inom...
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.