Zlatá koruna

Chyba sa netýka toho, či bol Archimedes – lebo o ňom je reč – celkom nahý, alebo nie, ani toho, čo konkrétne vykrikoval. Chyba sa týka niečoho oveľa podstatnejšieho, niečoho, čo je základom všetkých prírodných vied. Týka sa merania. Teda, aby sme boli úplne presní, chyba sa týka chyby, t.j. nepresnosti merania. 

Vitruvius nebol Archimedov súčasník. Žil o dve storočia neskôr, slúžil v Caesarovom vojsku ako veliteľ stavebných inžinierov a po skončení služby napísal Desať kníh o architektúre (de architectura libri decem), ktoré sú dodnes cenným zdrojom informácií o rímskom staviteľstve a technických vynálezoch. Pre nás je dôležitý úvod k deviatej knihe, ktorý obsahuje historku o Archimedovi a zlatej korune.

Korunu v tvare vavrínového venca dal vyrobiť panovník Hiero (nie pre seba, ale pre jeden z miestnych chrámov). Zlatníkovi dal určité množstvo zlata a z nejakého dôvodu získal podozrenie, že remeselník časť kovu ukradol a nahradil ho menej vzácnym striebrom. Koruna však vážila presne toľko, koľko dodané zlato, takže prípadný podvod sa nedal jednoducho odhaliť. Úlohou Archimeda, ktorý mal vtedy len o niečo viac ako dvadsať rokov, bolo nájsť metódu, ktorá by umožnila zistiť, či je koruna z čistého zlata, alebo nie.

Riešenie vraj Archimedovi napadlo v momente, keď vliezol do vane a uvedomil si, že čím viac sa ponorí, tým vyššie stúpne hladina vody. Od samej radosti vraj hneď z vane vyskočil a celý rozjašený utekal oznámiť novinu ľudu v uliciach.

Podľa Vitruvia Archimedes potom zobral dva kusy čistého kovu, jeden zlatý a druhý strieborný, ktoré vážili presne toľko, koľko podozrivá koruna. Ponorením týchto kusov do vody zistil, že striebro vytlačilo viac kvapaliny ako zlato. Nuž a keďže koruna vytlačila tiež o niečo viac vody ako čisté zlato, Archimedes mohol vraj spoľahlivo usúdiť, že nie je celkom zlatá.

Celý tento postup je vlastne založený na objave dôvtipnej metódy merania objemov nepravidelných telies. Nemeral sa pri nej priamo objem telesa, ale objem vody, ktorú teleso vytlačilo. Podľa Vitruvia bol tento objav aj v rámci Archimedových matematických úspechov a technických vynálezov výnimočný, svedčil o jeho neohraničenej vynaliezavosti a umožnil celkom jasným  usvedčením podvodníka.

V skutočnosti to však také jasné nebolo. Ako prvý na to upozornil dvadsaťdvaročný Galileo Galilei (čím sme sa posunuli v čase o jeden a pol tisícročia dopredu a v priestore zo Sicílie cez Rím až na sever Apeninského polostrova). Svoju prácu Jemná rovnováha (la bilancetta) začína v  presne opačnom duchu ako Vitruvius. 

Podľa Galilea je vyššie opísaná metóda hrubá a ani zďaleka nedosahuje vedeckú presnosť typickú pre Archimedove sofistikované práce. Galileo sa ani nenamáhal tým, aby vysvetlil, prečo metódu zisťovania čistoty zlata prisudzovanú Archimedovi považuje za nehodnú tohto velikána – až také mu to pripadalo samozrejmé. My sa však na moment pristavme a povedzme si, v čom je problém.

Zlato má skoro dvojnásobnú hustotu ako striebro, to znamená, že rovnaké (váhové) množstvo striebra vytlačí v porovnaní so zlatom takmer dvojnásobný objem. Takýto rozdiel by sa mal dať zdanlivo jednoducho vidieť na zmene výšky hladiny, respektíve na množstve vody, ktoré vytečie po ponorení telesa do plnej nádoby. Lenže zdanie opäť raz klame.

Ak mala koruna rozmer ľudskej hlavy, musela mať nádoba s vodou priemer aspoň 20 cm. Pri hmotnosti 1 kg by zlatá koruna zdvihla hladinu o zhruba jeden a pol milimetra, zatiaľ čo pri striebornej korune by to boli tri milimetre. Na odhalenie podvodu by teda bolo potrebné odčítať výšku hladiny s presnosťou na zlomky milimetra. Také niečo však nie je dosť dobre možné – okrem nedokonalosti ľudského zraku to znemožňujú jednak drobné vlnky na hladine a jednak takzvané povrchové javy (tie hrajú úlohu najmä pri pokusoch s plnou nádobou – vďaka povrchovému napätiu sa totiž dá do plnej nádoby pridať isté množstvo vody bez toho, aby sa čokoľvek vylialo).

Jasné usvedčenie zlatníka z podvodu vyžadovalo podľa Galilea presnosť merania výrazne prevyšujúcu presnosť metódy, ktorú Archimedovi prisudzoval Vitruvius. Ako to teda v skutočnosti bolo? Usvedčil Archimedes podvodníka, alebo bol – podobne ako niektorí naši súčasníci – sám trápnym podvodníkom, ktorý vyrobil škandalózny znalecký posudok na objednávku mocných?

Pri hľadaní odpovede na túto otázku vychádzal Galileo z predpokladu, že Vitruviova historka je prekrútením skutočného príbehu, o ktorom sa nedochovala nijaká pôvodná písomná zmienka. Podľa Galilea Archimedes zrejme naozaj vyriešil problém zlatej koruny pomocou vody, čo sa stalo predmetom ústnej tradície, a tá sa stala zdrojom neskoršieho písomného skomolenia.

Lenže ako to ten Archimedes urobil? Tohto chrobáka v hlave sa Galileo zbavil brilantnou dedukciou. Vymyslel totiž spôsob, ktorým by on sám vedel určiť čistotu zlata s oveľa lepšou presnosťou. A tento spôsob bol nielenže prístupný už v antických časoch, ale bol dokonca založený na dvoch základných Archimedových objavoch – na zákone páky a Archimedovom zákone. Podľa Galilea je preto veľmi pravdepodobné, že aj Archimedes postupoval týmto spôsobom.

O čo išlo? O váženie telies ponorených do vody. Vážilo sa na dvojramenných váhach (páka), pričom vážené teleso bolo ponorené, takže bolo nadľahčované vztlakovou silou (Archimedov zákon). Teleso nebolo položené na miske, na ramene váh voľne viselo, takže vztlaková sila bola daná iba množstvom vody, ktorú vytlačilo vážené teleso.

Kilogram zlata „vážil“ na takýchto váhach 948 gramov, zatiaľ čo kilogram striebra len 905 gramov. No a vážiť korunu s presnosťou na gramy je podstatne jednoduchšie, ako merať výšku hladiny s presnosťou na desatiny milimetra. V závere svojej práce Galileo konštatuje, že touto metódou sa dá spoľahlivo určiť percentuálne zastúpenie jednotlivých zložiek v zmesi dvoch kovov, napríklad zlata a striebra.

Na celej tejto histórii je najpoučnejšia úloha, akú v nej hrá precízne meranie a jeho presnosť. Za povšimnutie stojí už len to, že presnosť merania nie je primárne vecou manuálnej zručnosti, že to nie je vec rúk, ale hlavy. Ak chceme niečo odmerať s čo najväčšou presnosťou, musíme v prvom rade vymyslieť spôsob, ktorý to umožňuje. 

Ešte dôležitejšie je však to, že bez presných meraní často nie je možné urobiť nijaké rozumné závery. Pre romantickú dušu sú určite najpríťažlivejšie kvalitatívne závery typu vinný  nevinný a skvelé logické dedukcie vedúce k týmto záverom. Precíznosť v získavaní základných východísk sa obvykle zdá sivá a nudná. Romantickej duši odkazuje príbeh o Archimedovi, Galileovi a zlatej korune toto: Ak ide o pravdu, nič nie je sivé a nudné. A už vôbec nie základy, na ktorých stojí celá stavba.