.otázka z minulého týždňa:
Majme dvanásť gulí, z ktorých jedenásť má rovnakú a jedna inú hmotnosť – nevieme, či je ľahšia, alebo ťažšia. Ako sa dá na dvojramenných váhach zistiť pomocou najviac troch vážení, ktorá je tá odlišná?
.odpoveď:
Prvé váženie: na jednu misku váh položíme ľubovoľné štyri gule a na druhú misku položíme iné štyri gule. Výsledkom bude buď rovnováha, alebo niektorá štvorica preváži.
Ak vznikne rovnováha, je to ďalej jednoduché. V druhom vážení necháme na jednej miske tri zo štyroch gulí, ktoré tam boli predtým a na druhú misku položíme tri nové gule (z tých štyroch, ktoré sme ešte nevážili). Ak sa aj v druhom vážení ukáže rovnováha, je hľadanou guľou tá posledná, ktorá ešte nebola vážená. Ak v druhom vážení rovnováha nenastane, potom hľadaná guľa je medzi tými tromi novými a podľa toho, či bola táto trojica ťažšia, alebo ľahšia, vieme povedať aj to, či je hľadaná guľa ťažšia, alebo ľahšia. Práve preto ju ľahko odhalíme tretím vážením, v ktorom položíme na každú misku váh jednu z troch podozrivých gulí. Ak nastane rovnováha, je to tá tretia, ak jedna z gulí preváži, tak je jasné, ktorá z nich to je, pretože už vieme, či je hľadaná guľa ťažšia, alebo ľahšia.
Ak prvé váženie neukáže rovnováhu, treba gule vtipne poprehadzovať. Označme gule z ťažšej štvorice veľkými písmenami A, B, C, D a gule z ľahšej štvorice malými písmenami a, b, c, d. Kľúčové druhé váženie vyzerá takto: Gule A, B, c odložíme nabok. Na jednu misku váh položíme gule a, b, C. Na druhú misku položíme gule D, d, o, kde o je jedna z gulí, ktoré sa nezúčastnili prvého váženia.
Ak ukáže druhé váženie rovnováhu, potom hľadaná guľa je niektorá z trojice A, B, c. V treťom vážení teda položíme na misky gule A, B. Ak sú v rovnováhe, hľadaná guľa je c, ak nie sú v rovnováhe, hľadaná guľa je tá ťažšia z nich.
Ak preváži v druhom vážení trojica a, b, C, potom je hľadanou guľou buď guľa C, alebo guľa d na druhej miske. V treťom vážení položíme na misky gule d, o. Ak sú v rovnováhe, hľadaná guľa je C, ak v rovnováhe nie sú, hľadaná guľa je d.
Ak preváži v druhom vážení trojica D, d, o, potom je hľadanou guľou buď guľa D, alebo jedna z gulí a, b. Takže v treťom vážení položíme na misky gule a, b. Ak sú v rovnováhe, hľadaná guľa je D, ak nie sú v rovnováhe, hľadaná guľa je tá ľahšia z nich.
.otázka na tento týždeň:
Máme sedem vriec s mincami, v každom vreci je 2 000 mincí. V šiestich vreciach sú všetky mince pravé, v jednom sú všetky falošné. Pravé mince vážia 7,5 gramu, falošné 7,4 gramu. Okrem toho máme k dispozícii presné váhy so závažiami. Ako sa dá zistiť na jedno váženie, v ktorom vreci sú falošné mince?
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.