Poincarého hypotéza

Hlavným cieľom ústavu je podpora a propagácia matematiky, ktorej sa podľa Claya – inak absolventa angličtiny na Harvarde – nedostáva zo strany verejnosti dostatočného ocenenia. Vyhlásenie miléniových problémov a miliónových odmien malo za cieľ upútať pozornosť svetových médií a ich prostredníctvom čo najširšieho okruhu ľudí. 

Tento cieľ sa podarilo naplniť nad očakávanie. A to ani nie tak pre problémy samotné, ako skôr vyriešením prvého z nich. Teda, vlastne ani nie tak pre to riešenie, ako skôr pre riešiteľa.  

Prvý z problémov tisícročia vyriešil ruský (židovský) matematik Grigorij Pereľman už po dvoch rokoch. V roku 2002 publikoval jeden a v roku 2003 ďalšie dva články s riešením. Teda, publikoval ako publikoval. Zavesil to na internet a niekoľkým kolegom poslal e-mail, v ktorom im oznámil, že problém je vyriešený.

Nebol prvý, kto niečo také oznámil. Za uplynulých sto rokov sa objavilo niekoľko riešení tohto problému, z ktorých všetky sa však ukázali chybné. Do Pereľmanových článkov sa preto pustilo hneď niekoľko skupín matematikov. Hľadali chybu, hľadali, ale nič nenašli. Pri tom hľadaní podopĺňali mnohé kroky, ktoré boli v Pereľmanových prácach síce správne urobené, ale nie celkom podrobne zdôvodnené (tri Pereľmanove články mali spolu necelých 70 strán, články „overovateľov a vysvetľovačov“ mali jeden vyše 200 a druhý vyše 300 strán).

Overenie Pereľmanovho výsledku prišlo práve včas, aby ešte mohol dostať Fieldsovu medailu. Táto cena, ktorá sa považuje za niečo podobné, ako je Nobelova cena za matematiku, sa totiž môže udeliť len človeku mladšiemu ako 40 rokov a toľko mal Pereľman práve v roku 2006, keď mu Fieldsovu medailu udelili. Vtedy prišla prvá vlna Pereľmanovej slávy – o tom, ako odmietol medailu prevziať, písali vtedy asi všetky svetové noviny (aj my, pozri .týždeň 35/2006).

Druhá vlna Pereľmanovej svetovej slávy prebieha práve teraz – po tom, ako odmietol milión dolárov od Clayovho matematického ústavu za vyriešenie tohto problému. A znovu sa o tomto čudnom géniovi všade píše, aj keď veľa toho na písanie nie je. Od roku 2006 žije Pereľman v ústraní a vyhýba sa nielen novinárom, ale takmer všetkým ľuďom. Takže všetci píšu v zásade to isté: že si nechal počas svojho pobytu v New Yorku narásť niekoľkocentimetrové nechty, že chodil rád na huby, že hrával ping-pong... O tom, prečo vlastne odmieta všetky pocty, sa príliš veľa nepíše – pretože sa o tom príliš veľa nevie. Vlastne sa o tom nevie takmer nič. 

Nám však v tomto seriáli nepôjde o nesporne zaujímavú postavu Grišu Pereľmana. Našou témou budú samotné miléniové problémy, ktoré poskytujú celkom plastický obraz o súčasnej matematike. Nebude nás teda zaujímať až tak samotný Pereľman, ale skôr problém, ktorý vyriešil. 

Takže, čo to vlastne vyriešil? Dokázal takzvanú Poincarého hypotézu. Čo je to za hypotéza a prečo sa jej dôkaz považoval za jeden z najväčších problémov súčasnej matematiky? Pokúsime sa naznačiť, o čo išlo.

V prvom rade asi treba povedať, že ide o problém z topológie, čo je jedna z najkrajších oblastí celej matematiky. Topológia, ktorej najvýznamnejším duchovným otcom bol francúzsky matematik Henri Poincaré, je akási zovšeobecnená geometria. Zovšeobecnená v tom zmysle, že mnohé objekty, ktoré geometria považuje za rôzne, sú z topologického hľadiska rovnaké. Napríklad trojuholník, štvorec a kružnica sú z hľadiska geometrie celkom odlišné, ale z hľadiska topológie sú jedno a to isté. Topológia totiž nerozlišuje medzi vecami, ktoré sa dajú jedna na druhú spojitým spôsobom zdeformovať. A trojuholník aj štvorec sa dajú celkom ľahko zdeformovať na kružnicu.

Podobne jednoducho sa dá zdeformovať povrch kocky na povrch gule. Ale existujú plochy, ktoré sa nedajú spojitým spôsobom previesť na povrch gule. Typickým príkladom je povrch duše pneumatiky. 

Ako sa zistí, či sa nejaká plocha dá, alebo nedá spojito previesť na povrch gule? Na to existuje veľa spôsobov, jeden z nich spočíva v zistení, či sa daná plocha dá alebo nedá uchytiť do slučky. Guľa sa do slučky chytiť nedá – keď slučku sťahujeme, guľa sa z nej vyšmykne. Duša pneumatiky sa, naopak, dá uchytiť do slučky celkom jednoducho (pozri rámček). A pre dvojrozmerné plochy sa dá pomerne jednoducho ukázať, že na povrch gule sa dajú spojitým spôsobom previesť práve také plochy, ktoré sa nedajú uchytiť do slučky.

Poincarého hypotéza hovorí, že to isté by malo platiť aj vo vyšších dimenziách, t.j. pre troj- a viacrozmerné priestory. Na prvý pohľad to vyzerá celkom jednoducho – viacrozmerné priestory sú síce pomerne náročné na predstavivosť, ale pre matematikov zvyknutých pracovať s takýmito objektmi by nemalo byť nijakým problémom dokázať v ľubovoľnom počte rozmerov súvislosť medzi dvoma jednoduchými vlastnosťami: uchytiteľnosťou do slučky a spojitou deformovateľnosťou na povrch (viacrozmernej) gule. Lenže sa ukázalo, že to problém je. Sto rokov neboli najväčšie matematické mozgy schopné dokázať, že táto zdanlivo očividná súvislosť naozaj existuje v ľubovoľnom počte rozmerov. 

Čím dlhšie sa matematikom nedarilo Poincarého hypotézu dokázať, tým zaujímavejšou a dôležitejšou sa stávala. Čo bolo na nej také zaujímavé a dôležité? Nuž, práve to, že sa napriek zdanlivej jednoduchosti ukázala taká komplikovaná. To totiž poukazovalo na naše naozaj hlboké neporozumenie niečomu takému základnému, ako sú vlastnosti priestorov, a to aj priestorov trojrozmerných.

V skutočnosti sa trojrozmerné priestory ukázali ako úplne najzložitejšie. V roku 1960 dokázal americký matematik Stephen Smale platnosť Poincarého hypotézy pre priestory s dimenziou vyššou ako štyri, v roku 1982 dokázal iný Američan, Michael Freedman, jej platnosť pre štvorrozmerné priestory. Len pre tie trojrozmerné zakrivené priestory to nie a nie ísť. 

Grigorij Pereľman získal (ale neprevzal) milión dolárov práve za dôkaz Poincarého hypotézy v troch rozmeroch. Ako dôvod neprevzatia peňazí vraj uviedol, že nepovažuje rozhodnutie Clayovho matematického ústavu za spravodlivé. Podľa Pereľmana si totiž cenu zaslúži nielen on sám, ale aj Richard Hamilton (ďalší Američan), autor základnej myšlienky, ktorá nakoniec priviedla Pereľmana k úspechu.

Tá myšlienka je naozaj krásna a v podstate jednoduchá. Hamilton urobil z hľadiska topológie niečo takmer kacírske – upriamil svoju pozornosť na jednu geometrickú vlastnosť, ktorá v topológii nehrá nijakú úlohu. Ide o krivosť plochy alebo priestoru.

V geometrii hrá krivosť významnú úlohu. Povrch gule sa od povrchu zemiaka líši práve tým, že pri guli máme všade rovnakú krivosť, zatiaľ čo pri zemiaku sa krivosť všelijako mení. Hamiltonova myšlienka spočívala v nasledovnom: čo keby sme nechali vyvíjať sa plochu zemiaka tak, aby konečným štádiom tohto vývoja bol povrch gule? Ak by sme mali vývoj, ktorý by postupne vyrovnával krivosti, potom by sme mali na konci dospieť k ploche s rovnakou krivosťou všade, a to je práve povrch gule. Pri hľadaní rovníc takéhoto vývoja sa Hamilton inšpiroval rovnicou vedenia tepla. Tá opisuje postupné vyrovnávanie teplôt v telese, Hamiltonova rovnica opisovala podobným spôsobom vyrovnávanie krivosti plochy alebo priestoru.

Táto elegantná myšlienka však v sebe obsahovala niekoľko detailov, v ktorých mohol byť poľahky ukrytý nejeden diabol. Grigorij Pereľman ukázal, že to tak nie je. Všetkých diablov z úkrytov vyhnal a ukázal, že Hamiltonova myšlienka funguje od začiatku do konca.

Na tomto mieste by sa hodilo napísať, čo konkrétne to vlastne ten Pereľman spravil. To však naráža na prinajmenšom tri hranice. Na hranicu tejto dvojstrany, na hranicu trpezlivosti čitateľa a na hranicu vedomostí autora. Najvyšší čas skončiť.   

____________________________________________________________________________

Guľa sa do slučky uchytiť nedá (vždy sa dokáže vyšmyknúť), duša pneumatiky sa uchytiť dá (z červených prstencov na obrázku sa nedokáže vyšmyknúť). Matematici to formulujú tak, že v rámci sféry sa dá každá uzavretá krivka stiahnuť do bodu, pre pneumatiku to neplatí (toto je trochu všeobecnejšia formulácia, pretože modrý prstenec na obrázku sa nedá v rámci uvažovaného povrchu stiahnuť do bodu, aj keď vyšmyknúť sa z neho dá).

Toto zdanlivo triviálne a očividné tvrdenie je základom jedného zo siedmich matematických problémov, ktoré boli označené za problémy budúceho tisícročia (problematické nie je v skutočnosti toto jednoduché tvrdenie, ale jeho zovšeobecnenie na viac rozmerov). Vyriešením tohto problému (pozri hlavný článok) sme sa dozvedeli niečo úplne fundamentálne o tom, aké všelijaké môžu byť zakrivené trojrozmerné priestory vrátane toho, v ktorom žijeme.