Navier-Stokesova rovnica

Nástrojom, ktorý umožňuje predpovedanie budúcnosti, sú takzvané diferenciálne rovnice. Tento nástroj objavil Isaac Newton a dokázal pomocou neho presne predpovedať veľa vecí. Napríklad to, ako sa budú pohybovať dve telesá, ktoré sa navzájom priťahujú gravitačnou silou.

Newtonova diferenciálna rovnica hovorí toto: ak je zadaný stav telies (ich polohy a rýchlosti), potom sily určujú, ako sa tento stav mení – rovnica opisuje práve túto zmenu a prívlastok diferenciálna dostala z latinského diferencia = rozdiel, zmena. Rovnica nehovorí priamo, ako bude vyzerať celkový pohyb, hovorí len, ako sa bude vyvíjať stav v najbližšom okamihu. 

Ak chceme vedieť, ako bude vyzerať pohyb dlhodobo, musíme túto rovnicu vyriešiť. 

Riešením Newtonovej rovnice je akýsi vzorček, ktorý opisuje celkový pohyb. Newton vyriešil rovnice pre dve gravitačne sa priťahujúce telesá a z riešenia videl, že ak je jedno z telies oveľa ťažšie ako druhé (ako je to napríklad v prípade Slnka a Zeme), potom ich pohyb vyzerá tak, že to ľahšie obieha po elipse okolo ťažšieho (tak, ako to o storočie skôr odpozoroval Kepler).

Podobne vedel Newton riešiť svoju rovnicu aj v mnohých iných prípadoch. Zo známeho počiatočného stavu a zo známych síl vedel vypočítať, ako bude vyzerať ďalší pohyb telies. V mnohých prakticky dôležitých prípadoch tak vedel spoľahlivo predpovedať budúcnosť.

Povzbudení Newtonovým úspechom sa matematici pustili do práce a snažili sa vyriešiť čo najviac typov diferenciálnych rovníc. Raz sa im to darilo, inokedy nie. Veľkým sklamaním bolo, že ak k dvom gravitačne sa priťahujúcim telesám pridali tretie, riešenie rovníc sa im napriek úporným snahám nepodarilo napísať v tvare nejakého vzorčeka.

Prečo sa to nedarilo? Nuž, jednoducho preto, lebo také riešenie nemusí vždy existovať. 

Začiatkom 19. storočia dokázal francúzsky matematik Joseph Liouville, že riešenia niektorých veľmi jednoduchých diferenciálnych rovníc sa nedajú napísať pomocou vzorčekov. A prechod od dvoch telies k trom sa ukázal prechodom od rovnice riešiteľnej pomocou vzorčeka k rovnici, ktorá takéto riešenie nemala. Predpovedať budúcnosť systému Slnko-Zem sme teda vedeli celkom spoľahlivo, ale pre systém Slnko-Zem-Mesiac to už z nejakých záhadných dôvodov nešlo.

Jednou z ciest, ktorou sa matematici snažili s týmto nezdarom vyrovnať, bolo približné počítanie riešení. Napríklad tak, že namiesto spojitého času uvažovali čas rozdelený na malé časové úseky a rovnicu riešili krok za krokom. Takýto postup celú úlohu veľmi zjednoduší a navyše, problém troch telies nie je v takomto balení o nič zložitejší ako problém dvoch telies. V skutočnosti však neriešime pôvodnú úlohu – riešime inú úlohu, ktorá sa na tú pôvodnú len podobá. 

Intuitívne očakávame, že čím bude časový krok menší, tým viac sa bude úloha s rozsekaným  časom podobať na pôvodnú úlohu so spojitým časom a tým menej sa bude získané riešenie líšiť od skutočného riešenia. Ale je to naozaj tak? Matematikom sa už v 19. storočí podarilo dokázať, že  pre niektoré diferenciálne rovnice to tak je. Išlo o takzvané obyčajné diferenciálne rovnice, t. j. o rovnice pre objekty, ktorých stavy sú charakterizované konečným počtom čísel (ako napríklad guľôčka, elektrický obvod či Slnečná sústava). Lenže sú aj iné diferenciálne rovnice.

Navier-Stokesova diferenciálna rovnica, ktorá opisuje časový vývoj prúdiacej tekutiny, sa v niečom na Newtonovu rovnicu veľmi podobá a v niečom vôbec nie. Podobnosť je v tom, že v obidvoch prípadoch je časový vývoj daný pôsobiacimi silami – Navier-Stokesova rovnica sa odvodzuje od síl, ktorými pôsobí na jednotlivé časti tekutiny jednak gravitácia a jednak tlak plus trenie o susedné časti tekutiny (pozri .týždeň 28/2009). Rozdiel je v tom, že stav tekutiny je opísaný jej rýchlosťami a tlakmi vo všetkých bodoch, v ktorých sa tekutina nachádza – a tých bodov je nekonečne veľa.

Diferenciálne rovnice, ktoré opisujú zmenu stavu opísaného nekonečným množstvom premenných, majú prívlastok parciálne. Prišiel na ne Fourier začiatkom 19. storočia, keď sa matematicky snažil opísať vedenie tepla v tyči. Fourierova rovnica vedenia tepla je z matematického hľadiska pomerne jednoduchá a Fourier ju dokázal vyriešiť pomocou vzorčeka. Navier-Stokesova rovnica je, naopak, emblematickým príkladom na pohľad jednoduchej, ale vnútorne veľmi komplikovanej parciálnej diferenciálnej rovnice.

Pri riešení Navier-Stokesovej rovnice postupujú matematici rovnako, ako v prípade obyčajných diferenciálnych rovníc. To znamená, že často hľadajú približné riešenie rozsekaním času na maličké úseky. V tomto prípade však musia rozsekať na maličké kúsky aj priestor a hľadať rýchlosti a tlaky len vo vybraných bodoch – ak by to neurobili, trval by im každý krok približného riešenia nekonečne dlho.

Kľúčová otázka pri takomto postupe je, či nás postupné zjemňovanie rozsekania priestoru a času privádza čoraz bližšie k skutočnému riešeniu pôvodnej úlohy. Odpoveď na túto otázku nepoznáme. My totiž vôbec nevieme, či skutočné riešenie pôvodnej úlohy naozaj existuje. A pritom by sme to radi vedeli. O tom, ako radi, svedčí už len to, že Clayov matematický ústav zaradil otázku existencie riešenia Navier-Stokesovej rovnice medzi sedem takzvaných miléniových problémov a za vyriešenie ľubovoľného z nich vypísal odmenu milión dolárov.

Nematematika môže na tomto miléniovom probléme zaraziť skutočnosť, že úlohou nie je rovnicu vyriešiť, ale len dokázať, že riešenie existuje. Z pohľadu laika to naozaj môže vyzerať v porovnaní s kompletným vyriešením rovnice ako málo ambiciózny cieľ. Na druhej strane by laika zrejme prekvapilo aj to, že v skutočnosti sa o existencii riešenia Navier-Stokesovej rovnice vie pomerne veľa. Vie sa, že existujú takzvané slabé riešenia (čo to presne znamená, to tu vysvetľovať nebudeme), vie sa dokonca, že existujú aj ozajstné riešenia (matematici im hovoria klasické riešenia), ak je počiatočná rýchlosť malá. A vie sa ešte aj to, že pre malý časový interval takéto riešenia existujú aj vtedy, ak počiatočná rýchlosť malá nie je. A čo sa teda nevie? Nevie sa, či existujú klasické riešenia pre nekonečný časový interval pri veľkých počiatočných rýchlostiach (presne povedané, nevie sa to pre pohyb tekutín v trojrozmernom priestore – v dvojrozmernom priestore takéto riešenia existujú). 

Hm, a prečo je práve táto otázka taká dôležitá? Jeden dôvod je celkom prostý – úloha sa stane výzvou jednoducho vtedy, ak si s ňou nevedelo dať rady veľa múdrych ľudí. Ale sú tu aj špecifickejšie dôvody. Spomeňme aspoň dva z nich.

Po prvé, Navier-Stokesova rovnica nie je jediná parciálna diferenciálna rovnica, pre ktorú matematika nevie uspokojivo zodpovedať otázky existencie a jednoznačnosti riešenia. A tak slúži ako akési laboratórium na vývoj metód užitočných pre širšiu triedu úloh.

Druhý dôvod je špecifický pre prúdenie tekutín. To má totiž dve formy – laminárnu (slušnú) a turbulentnú. Turbulencia je fenomén veľkého praktického významu, ktorému teoreticky príliš dobre nerozumieme. Je celkom dobre možné, že neúspechy pokusov riešiť základné otázky existencie a jednoznačnosti riešenia Navier-Stokesovej nejakým spôsobom súvisia s prítomnosťou turbulentného prúdenia. Porozumenie otázkam existencie a riešenia tejto rovnice nás teda môže naučiť niečo hlboké a nečakané aj o podstate turbulencie.

Tak či onak, Clayov matematický ústav si cení otázku existencie riešenia Navier-Stokesovej rovnice pomerne vysoko. Milión dolárov je milión dolárov. Takže, vyhrnúť si rukávy a do roboty.  Navier-Stokesova rovnica, hlavná hrdinka problému, na vyriešenie ktorého je vypísaná odmena milión dolárov. Rovnica opisuje zmenu rýchlostí a tlakov v prúdiacej kvapaline.  Prvý člen na ľavej strane predstavuje rýchlosť zmeny rýchlosti tekutiny v danom bode. Druhý člen súvisí s tým, ako sa mení rýchlosť tekutiny v priestore.  Prvý člen na pravej strane prestavuje zmenu tlaku v danom mieste tekutiny, druhý člen reprezentuje viskozitu (vnútorné trenie) tekutiny a tretí člen v sebe zahŕňa všetky ostatné sily (napríklad gravitačnú). Rovnica hovorí, že zmeny rýchlostí sú dané silami pôsobiacimi v tekutine. Jednoducho povedané, jednoducho zapísané, a pritom „zložité jak šľak“.