.otázka z minulého týždňa:
Táto veta je nepravdivá. Je predchádzajúca veta pravdivá alebo nepravdivá?
.odpoveď:
Tá veta nie je ani pravdivá, ani nepravdivá. Nie je, pretože nemôže byť. Ak by totiž bola pravdivá, bola by pravda to, čo tvrdí, a ona tvrdí, že je nepravdivá. Pravdivá teda byť nemôže. Na druhej strane, ak by bola nepravdivá, potom by nebola pravda to, čo tvrdí – čiže by nebola pravda, že je nepravdivá. Takže nemôže byť ani nepravdivá.
Čo dodať? Hádam len toľko, že táto pôvabná slovná či logická hračka tvorí základ jedného z najväčších, ak nie úplne najväčšieho matematického objavu 20. storočia. Tento objav, ktorého autorom bol Kurt Gödel (narodený v roku 1906 v Brne), sa týkal matematickej nedokázateľnosti niektorých pravdivých matematických tvrdení. Skutočnosť, že v matematike existujú pravdivé tvrdenia, ktoré sa nedajú dokázať, bola pre Gödelových súčasníkov absolútne šokujúca. A jeho dôkaz tejto skutočnosti je jedným z najhlbších a najkrajších výkonov ľudského ducha.
A v samom srdci tohto dôkazu leží mierna modifikácia vety z našej úlohy. Konkrétne ide o vetu: Toto tvrdenie je nedokázateľné. Táto veta nemá povahu presného matematického tvrdenia, ktoré by sa dalo dokazovať v rámci nejakého axiomatického systému, ale Gödel našiel geniálny spôsob, ako toto matematicky vágne tvrdenie preformulovať do veľmi striktnej matematickej podoby. No a čo je na tomto tvrdení také zaujímavé?
Nepýtajme sa, či je toto tvrdenie dokázateľné. Položme si otázku, či je toto tvrdenie pravdivé, alebo nie. Ak by nebolo pravdivé, potom by sa dalo matematicky dokázať, čo by celú matematiku rozmetalo na márne kúsky – ak by sa v matematike dali dokázať nepravdivé tvrdenia, nezostal by v nej kameň na kameni.
Takže zostáva možnosť, že ide o pravdivé tvrdenie. To však znamená, že sa nedá dokázať. To bola pre matematiku tiež dosť ťažká rana, ale rozhodne nie smrteľná. V každom prípade to znamenalo, že matematické a vlastne aj celé rozumové poznanie má svoje neprekonateľné limity.
.otázka na tento týždeň:
Pri štiepení drevených polien postupujeme bežne tak, že sekeru do dreva zatneme, a potom ju otočíme (tak aby bolo polienko hore) a udrieme do podložky jej tupou časťou. Takýto postup je oveľa účinnejší, ako keby sme sekeru neotočili. Prečo?
(Táto otázka pochádza z blogu Michala Zaričňaka, uverejneného na stránke .týždňa približne pred rokom pod názvom Chlapská výzva Martinovi Mojžišovi. Veľmi odporúčam prečítať si tento blog, najmä skvelú časť o porisku ako Quislingovi.)
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.