Kvantová teória poľa

Úžasnú presnosť kvantovej teórie poľa najlepšie možno ilustrovať na nejakom konkrétnom príklade. Vezmime si trebárs niečo, čo sa volá g-faktor elektrónu (nech už to znamená čokoľvek) a porovnajme výsledok extrémne precíznych meraní tejto veličiny s výsledkom výpočtu v rámci kvantovej teórie poľa. Nameraná hodnota je 2,00104159... Vypočítaná hodnota je 2,00104159... Teória sa teda zhoduje s experimentom na osem desatinných miest. A tomu sa už dá povedať presnosť.

Napriek tejto mimoriadnej jemnej zhode medzi teóriou a experimentom je kvantová teória poľa matematicky úplne chorá. Matematici vedia dokázať, že pri výpočtoch sa používajú matematické objekty, ktoré v skutočnosti neexistujú. Nehovoriac o tom, že rozumné a presné výsledky týchto výpočtov sú v skutočnosti súčtami nezmyslov.

Ako je možné, že takýto matematický bordel vedie k neuveriteľne presnému popisu prírody? To je jedna z najväčších záhad súčasnej fyziky. Záhada, ktorú Clayov matematický ústav zaradil do zoznamu siedmich takzvaných miléniových problémov a na jej vyriešenie vypísal odmenu milión dolárov.

Problém je v spojení teórie relativity a kvantovej mechaniky. Teória elementárnych častíc musí byť jednak relativistická (častice v urýchľovačoch aj v kozmickom žiarení sa pohybujú rýchlosťami blízkymi rýchlosti svetla) a jednak kvantová (častice sú mrňavé a svet mrňavých vecí je kvantový). Na popis elementárnych častíc je teda potrebná relativistická kvantová teória a práve tej sa hovorí kvantová teória poľa. Lenže matematicky rigorózna formulácia takejto teórie naráža od samého začiatku na obrovské ťažkosti.

Teda, aby sme boli presní, je pomerne jednoduché sformulovať kvantovú teóriu poľa popisujúcu voľné častice, t.j. častice, ktoré s ničím neinteragujú. Lenže to je nielen jednoduché, ale aj nezaujímavé – neinteragujúce častice totiž nič zaujímavé nerobia. Mnohým ťažkostiam sa dá vyhnúť aj tým, že teóriu neformulujeme v štyroch rozmeroch (troch priestorových plus jednom časovom) ale v menejrozmernom časopriestore. Aj to je však málo zaujímavé z hľadiska popisu skutočnej fyzikálnej reality. No a pri formulácii teórie interagujúcich častíc v 4-rozmernom časopriestore sú všetky ťažkosti prítomné v celej svojej kráse.

Fyzici sa naučili obchádzať tieto ťažkosti tak, že ich rafinovane, sofistikovane, systematicky a disciplinovane zametajú pod koberec. To im umožňuje robiť všelijaké komplikované výpočty, ktoré v konečnom dôsledku tak perfektne súhlasia s tým, čo namerajú iní fyzici v laboratóriách. Tieto výpočty nie sú nijakými podvodmi – zametanie pod koberec je komplikovaná matematická procedúra, ktorá je veľmi striktne definovaná a neponecháva nijaký priestor na prispôsobenie výsledkov tomu, čo chceme dostať.

Ako je možné, že v neporiadne definovanej teórii je možné robiť poriadne a presné výpočty? Panuje všeobecné presvedčenie, že naša súčasná formulácia kvantovej teórie poľa je akýmsi nedokonalým priblížením správnej formulácie. Toto nedokonalé priblíženie je však v nejakom zmysle veľmi blízke správnej formulácii, a preto dáva také dobré výsledky.

Jedna časť miléniového problému týkajúceho sa kvantovej teórie poľa je nájdenie tej správnej formulácie. Konkrétne ide o matematicky rigoróznu definíciu takzvanej kalibračnej kvantovej teórie poľa v štyroch rozmeroch. Slovo „kalibračná“ má presne definovaný význam, ktorý tu však nebudeme vysvetľovať. Povieme si len toľko, že súčasná teória elementárnych častíc – takzvaný Štandardný model – má tri navzájom prepletené časti (volajú sa kvantová elektrodynamika, kvantová flavordynamika a kvantová chromodynamika), ktoré všetky sú kalibračnými kvantovými teóriami poľa.

Okrem tejto všeobecnej časti týkajúcej sa rigoróznej definície teórie má miléniový problém aj druhú, špecifickejšiu časť. Technicky je táto časť sformulovaná ako požiadavka dokázať, že niektoré kalibračné kvantové teórie poľa, medzi ktoré patrí aj kvantová chromodynamika, majú takzvanú hmotnostnú medzeru (mass gap). Čo to znamená a prečo je to dôležité?

Niektoré častice v kalibračných teóriách majú nulovú hmotnosť a z tejto skutočnosti vyplýva  ďaleký dosah interakcií, ktoré s týmito časticami súvisia. Typickým príkladom je nulová hmotnosť fotónu a s ňou bezprostredne zviazaný ďaleký dosah elektromagnetických interakcií. V Štandardnom modeli sú však kalibračnými teóriami opísané aj interakcie s veľmi krátkym dosahom, a nulová hmotnosť príslušných častíc preto predstavuje vážny problém.

Pre jeden typ interakcíí (tých, ktoré sú opísané kvantovou flavordynamikou) sa ten problém rieši rafinovaným vtipom, ktorému fyzici hovoria Higgsov mechanizmus. Tento vtip dodá hmotnosť inak bezhmotovým časticiam a z dlhého dosahu tak urobí dosah krátky. Súčasťou tohto vtipu je existencia špecifickej častice – takzvaného Higgsovho bozónu – ktorú ľudia dodnes veľmi usilovne hľadajú na urýchľovačoch v CERN-e a Fermilabe.

Pre krátkodosahové jadrové sily (opísané kvantovou chromodynamikou) však tento mechanizmus nefunguje, tam je krátky dosah dôsledkom niečoho iného. Medzi fyzikmi panuje všeobecná viera, že toto „niečo iné“ nie je v skutočnosti nič „iné“, že je to obsiahnuté už v samotnej teórii, len to z nej nevieme vytiahnuť. Technicky sa dá krátkodosahovosť sformulovať ako existencia spomínanej hmotnostnej medzery a práve takáto formulácia je použitá v miléniovom probléme.

No fajn, ale prečo to fyzici nevedia z teórie vypočítať? Veď sme si predsa povedali, že vedia v rámci tejto teórie robiť veľmi presné (aj keď pri veľmi prísnom pohľade neporiadne) výpočty? To je síce pravda, lenže tieto výpočty nevedia robiť vždy. Pri niektorých javoch to  jednoducho nefunguje. Štandardná metóda výpočtu pri týchto javoch zlyháva a stáva sa celkom nepoužiteľnou.

Je možné, že naša neschopnosť niektoré veci vypočítať súvisí s tým, že pracujeme s nie celkom dobre definovanou teóriou. Matematické jemnosti, ktoré sa niekde darí úspešne ignorovať, sa možno pri iných otázkach naplno prejavia. Nie je vylúčené, že na poriadne pochopenie sveta elementárnych častíc bude potrebná nejaká nová matematika. 

Cieľom miléniového problému týkajúceho sa kalibračných kvantových teórií poľa je pritiahnuť pozornosť matematikov k týmto otázkam. Úspešné vyriešenie tohto problému by veľmi výrazne prehĺbilo naše porozumenie prírode na tej úplne fundamentálnej úrovni. A to by zrejme stálo za to.