Dve domnienky

Už je to raz tak: päť plus dva je sedem. Päť býva článkov v každej sérii v rámci rubriky .veda, dva bývajú rozhovory, ktoré každú sériu ukončujú. Keď sme sa teda pred viac ako mesiacom rozhodli venovať jednu sériu siedmim najvýznamnejším matematickým problémom, bolo hneď jasné, že o piatich z nich napíšeme článok a dvom sa budeme venovať v rozhovoroch. 

V článkoch sme sa venovali tým problémom, o ktorých sa dalo napísať niečo aspoň trochu pochopiteľné. Dva najmenej zrozumiteľné problémy sme – s hlavou hlboko ponorenou v piesku – nechávali na rozhovory. Nastal čas hlavu vytiahnuť.

Prvý z týchto problémov sa volá Birchova a Swinnerton-Dyerova domnienka a jeho formulácii nerozumejú poriadne ani mnohí profesionálni matematici. Druhý sa volá Hodgeova domnienka a s jeho zrozumiteľnosťou je to ešte horšie. Oto Strauch a Pavol Zlatoš to mali naozaj ťažké.

 

Neviem, či sa to dá takto povedať, ale určité styčné body tam sú. Napríklad už len to, že miléniový problém týkajúci sa tejto domnienky formuloval pre Clayov matematický ústav práve Andrew Wiles. Spomínaná domnienka je, rovnako ako Veľká Fermatova veta, problémom z teórie čísiel, konkrétne z oblasti takzvaných diofantických rovníc. To sú rovnice, v ktorých vystupujú len celé čísla a riešenia hľadáme tiež len medzi celými číslami. Tieto rovnice sa vo všeobecnosti riešia veľmi ťažko – dôvod je práve ten, že sa obmedzujeme len na celé čísla. Čím užšia je oblasť čísiel, v ktorej hľadáme riešenia, tým ťažšie sa tieto riešenia hľadajú. A ďalší súvis je možno v tom, že vo Wilesovom dôkaze Veľkej Fermatovej vety aj v Birchovej a Swinnerton-Dyerovej domnienke hrajú dôležitú úlohu takzvané eliptické krivky. 

Eliptické krivky sú nejaké krivky, ktoré si môžeme predstaviť nakreslené na papieri so súradnicovými osami. Súradnice x, y bodov eliptickej krivky spĺňajú takzvanú eliptickú rovnicu y2 = x3 + ax + b. Z hľadiska teórie čísiel sú zaujímavé tie body takýchto kriviek, pre ktoré sú obidve čísla, x aj y, racionálne, čiže sa dajú vyjadriť ako podiel dvoch celých čísiel. Zaujímavé sú preto, lebo nájdením takýchto bodov na jednej eliptickej krivke dostaneme riešenie celej skupiny diofantických rovníc.. Niektoré problémy z teórie čísiel sa vďaka tomu dajú riešiť pomocou geometrie eliptických kriviek.

Pomocou priamok a ich priesečníkov s uvažovanou krivkou vieme definovať pre body krivky akúsi operáciu, ktorej matematici hovoria súčet – aj keď od bežného súčtu sa to dosť líši. Táto operácia má pozoruhodnú štruktúru, ktorej matematici hovoria grupová štruktúra. Geometria eliptických kriviek nás teda privádza k štúdiu vlastností istých grúp. Ukazuje sa, že tieto grupy sa dajú rozdeliť na konečnú a nekonečnú časť a z týchto častí sa potom môžeme dozvedieť, či má príslušná diofantická rovnica konečne alebo nekonečne veľa riešení.

Hovorí, že štruktúra nekonečnej časti spomínanej grupy by sa mohla dať počítať určitým, relatívne jednoduchým spôsobom. Najprv sa rafinovaným, ale v podstate priamočiarym spôsobom skonštruuje istá funkcia, a potom sa táto funkcia preskúma v okolí čísla 1. Správanie danej funkcie v okolí tohto čísla vypovedá o tom, či má uvedená grupa nekonečnú časť a ak áno, aká je jej štruktúra. A to zas vypovedá o tom, či má nejaká diofantická rovnica konečne alebo nekonečne veľa riešení. Ale či sa to naozaj dá takto počítať, to zatiaľ nie je známe. Je to stále len domnienka, nikto to zatiaľ nevie dokázať.

Najprv poviem niečo k tomu, načo môže byť dobré riešenie eliptickej rovnice. No môže byť veľmi užitočné napríklad v kryptografii. Ak vieme nájsť riešenia nejakej eliptickej rovnice, dá sa to použiť pri šifrovaní. Dnes je rozšírené šifrovanie pomocou takzvaného verejného kľúča, ktoré je založené na vlastnostiach prvočísiel. Znalosť riešenia niektorých diofantických rovníc by mohla niekoľkonásobne zvýšiť účinnosť takéhoto šifrovania. Ale tu musím hneď povedať, že Birchova a Swinnerton-Dyerova domnienka nám nedáva nástroj na riešenie diofantických rovníc, hovorí nám len o o počte týchto riešení. Ale aj to nám hovorí niečo o tomto svete. A dozvedieť sa niečo nové o svete je, svojím spôsobom, praktické.

Ak vieme vyriešiť nejakú diofantickú rovnicu, tak vieme niečo o prírode. Vráťme sa, napríklad, k tej Fermatovej vete. Tá hovorí, že neexistujú také tri celé čísla x, y, z, pre ktoré by platilo x3 + y3 = z3. To je zdanlivo celkom abstraktné tvrdenie, ktoré nemá nič spoločné s naším materiálnym svetom. Ale ono hovorí, že ak vyrobíme z malých kociek dve veľké kocky s hranami dĺžky x a y, potom tieto dve veľké kocky rozoberieme a pokúsime sa postaviť jednu veľkú kocku tak, aby sme použili všetky malé, tak sa nám to nepodarí. A to už je nejaká vlastnosť tohto nášho fyzického sveta. Mnoho ľudí považuje teóriu čísiel za nejakú čistú matematiku, ale ja sa na celú matematiku pozerám ako na niečo rovnocenné fyzike. Vždy, keď sa dozvieme niečo nové o celých číslach, tak tým odhalíme nejaké nové tajomstvo prírody.

Asi áno. Musím priznať, že ani ja osobne jej formulácii celkom uspokojivo nerozumiem a niečo som si musel naštudovať len pre túto príležitosť. Jednou z paradoxných vlastností matematiky je, že hoci abstrakcia často prináša zjednodušenie problému, každá ďalšia vrstva abstrakcie robí problematiku menej zrozumiteľnou. Niektorým matematickým problémom preto poriadne rozumie len úzky okruh ľudí a domnievam sa, že Hodgeova domnienka patrí do tejto kategórie. 

Abstrakčným zdvihom môžeme napríklad zbaviť výnimky ich výnimočného postavenia. A veci bez výnimiek bývajú jednoduchšie ako tie s výnimkami. Skúsim to ilustrovať na príklade z geometrie. Jeden zo základných postulátov euklidovskej geometrie hovorí, že dve rôzne priamky, ktoré nie sú rovnobežné, sa pretínajú v jedinom bode. Rovnobežné priamky tu teda predstavujú výnimočný prípad – na rozdiel od iných dvojíc priamok sa nepretínajú v žiadnom bode. Ak si však vypomôžeme jednou ideou z projektívnej geometrie, ktorá sa rozvinula z potrieb zobrazovania perspektívy v renesančnom maliarstve, môžeme euklidovskú rovinu rozšíriť o takzvané nevlastné alebo nekonečne vzdialené body. Dve rovnobežné priamky sa potom pretnú práve v takom bode. V projektívnej geometrii už nemajú rovnobežné priamky nijaké výnimočné postavenie, a to je naozaj zjednodušenie. Ďalšími abstrakciami sa dostaneme až k takzvaným komplexným projektívnym varietám, na pozadí ktorých sa odohráva celý príbeh Hodgeovej domnienky.

Do presnej definície sa tu určite púšťať nebudeme, ale môžeme povedať aspoň toľko, že sú to veľmi pekné a veľmi abstraktné priestory. Na malej škále vyzerajú ako náš starý dobrý euklidovský priestor a globálne nás pritom v maximálnej možnej miere oslobodzujú od nepríjemností spôsobovaných rôznymi výnimkami. V komplexnej projektívnej rovine sa napríklad stierajú rozdiely medzi kužeľosečkami, ako sú elipsy, hyperboly a paraboly, no taktiež takéto dve krivky sa vždy pretínajú v dvoch bodoch – nemôže sa napr. stať aby sa dve kružnice nepretli. Zároveň sú to však aj veľmi zložité priestory – ich globálna štruktúra sa zatiaľ vymyká všetkým pokusom o úplnú klasifikáciu. Hodgeova domnienka je akousi iskierkou nádeje, že by to predsa len nemalo byť až také komplikované. Táto nádej klíči zo spojenia štyroch matematických disciplín: geometrie, algebry, topológie a analýzy.

Hovorí o možnom súvise takzvaných topologických a algebraických cyklov v komplexných projektívnych varietách. (Úsmev.)

Topologické metódy nás zbavujú nutnosti všímať si niektoré nadbytočné detaily, menovite rozlišovať medzi tvarmi, ktoré sa dajú jeden na druhý spojito zdeformovať. Po rozumnej redukcii získame týmito metódami akúsi „stavebnicu“ základných tvarov: úsečiek, trojuholníkov, štvorstenov a tak ďalej, z ktorých je možné skladať ďalšie objekty operáciami, ktoré pripomínajú sčítanie a odčítanie. Navyše, na každom takomto objekte možno identifikovať niečo ako hranicu. Objektom s nulovou hranicou hovoríme topologické cykly.

Tie predstavujú čosi ako „pekné tvary“, čiže krivky, plochy a podobne, ktoré sú opísané algebraickými rovnicami pre súradnice ich bodov. Práve týmto „pekným tvarom“ hovoríme z akýchsi dôvodov algebraické cykly. Tieto cykly sa tiež dajú sčítať a odčítať. A dokonca sa dajú aj násobiť a deliť celými číslami. 

Ešte treba do hry zapojiť aj meranie dĺžok, plošných obsahov, objemov a podobne, čo umožní vybrať spomedzi topologických cyklov tie, ktoré sú z určitého hľadiska „slušné“. Hodgeova domnienka potom tvrdí, že každý „slušný“ topologický cyklus v komplexnej projektívnej variete je v istom zmysle ekvivalentný racionálnej kombinácii algebraických cyklov. Obávam sa však, že teraz už nie je jasné vôbec nič – hádam len to, že naozaj ide o veľmi abstraktný a ťažko zrozumiteľný problém.