Dve otázky

Koleso na obrázku prejde bez prešmykovania vzdialenosť zodpovedajúcu jednej otočke. Kružnice s rôznymi polomermi (vyznačené červenou a modrou farbou), a teda aj s rôznymi obvodmi sa pritom „rozvinú“ do úsečiek s rovnakou dĺžkou. Ako je to možné?

(Poznámka: táto otázka sa podobá na otázku spred dvoch týždňov, ale je to iná otázka. Tam išlo o pohyb konkrétnych bodov počas pohybu kolesa, tu ide o to, ako sa dvom rôzne veľkým kružniciam podarí „vystrieť“ do dvoch rovnako veľkých úsečiek. Dnešný problém, na rozdiel od toho spred dvoch týždňov, dal v histórii zabrať nejednému veľkému mysliteľovi.)

Otázka pochádza z antického spisu Mechanika, pripisovaného (omylom) Aristotelovi. Jej riešením sa zaoberali medzi inými aj Galileo Galilei, René Descartes a Pierre Fermat.

Najprv vybavme ľahkú časť problému. Ak si všimneme stred kolesa, ten prejde pri jednej otočke tiež rovnako dlhú úsečku, ale to vôbec neznamená, že sa do takejto dlhej úsečky „rozvinie“. Stred je jednoducho pozdĺž tejto úsečky „ťahaný“, respektíve sa po nej „šmýka“.

Červená kružnica sa pohybuje bez šmýkania. Bod, ktorým sa táto kružnica dotýka zeme, má vzhľadom k zemi vždy nulovú rýchlosť (to je podstatou neprešmykovania). Táto kružnica sa teda počas pohybu naozaj rozvinie do červenej úsečky.

A čo sa deje s menšou kružnicou? Tá sa čiastočne „vystiera“ a čiastočne „sa šmýka“. Najnižší bod menšej kružnice má vždy vzhľadom k zemi nenulovú rýchlosť (práve touto rýchlosťou sa menšia kružnica „šmýka“). Modrá úsečka teda nie je rozvinutím modrej kružnice, je kombináciou „vystierania“ kružnice a jej „šmýkania“.

A teraz k hlbšej časti problému. Počas pohybu sa každý bod červenej kružnice dotkne práve raz červenej úsečky a každý bod modrej kružnice sa dotkne práve raz modrej úsečky. To   však znamená, že červená kružnica má rovnako veľa bodov ako modrá kružnica. A sme tam, kde sme boli – rôzne dlhé kružnice majú rovnako veľa bodov.

V skutočnosti však nie sme tam, kde sme boli. V zadaní sme tvrdili, že dve rôzne veľké kružnice majú rovnaké obvody, teraz tvrdíme, že majú rovnako veľa bodov. A to sú dve rôzne veci. O prvej z nich vyšlo pri podrobnejšom preskúmaní najavo, že je nepravdivá, tá druhá je pravdivá. Objekty s rovnakým (nekonečným) počtom bodov môžu mať, a často majú, rôznu dĺžku.

Posledné tvrdenie znie na prvé počutie paradoxne, nuž ale nekonečno jednoducho má niektoré zdanlivo paradoxné vlastnosti. V skutočnosti však nejde o naozajstné paradoxy, len o rozpor s intuíciou, ktorá je založená na skúsenosti s konečnými vecami. Analýza problému „Aristotelovho kolesa“ velikánmi spomínanými na začiatku našej odpovede bola súčasťou stáročia trvajúceho zápasu o základné porozumenie nekonečnu.

Koľko anjelov sa zmestí na špičku ihly