.otázka z minulého týždňa
Sto vojakov stojí v štvorcovom útvare, t. j. v desiatich radoch po desať vojakov. Z každého radu sa vyberie najnižší vojak a z týchto desiatich sa vyberie ten najvyšší. Nech sa volá Joe (ide o US army). Zároveň sa z každého zástupu vyberie najvyšší vojak a z týchto desiatich sa vyberie ten najnižší. Nech sa volá John. Kto je vyšší, Joe alebo John? .odpoveď
V prvom rade si vyjasnime, že Joe a John môžu byť v princípe jeden a ten istý človek (ktorý sa volá, napríklad, John Joseph Littlewood). Existuje také rozostavenie vojakov, že ide naozaj o toho istého človeka? Áno, existuje.
Očíslujme vojakov od najmenšieho po najväčšieho číslami od 1 do 100. Potom ich rozostavme napríklad tak, že v prvom rade budú stáť zľava doprava postupne vojaci s číslami 1 až 10, v druhom rade zľava doprava vojaci s číslami 11 až 20 atď. Najnižší vojaci z jednotlivých radov majú čísla 1, 11, 21, ... a najvyšší z nich (t.j. Joe) má číslo 91. Najvyšší vojaci v jednotlivých zástupoch majú čísla 91, 92, 93, ... a najnižší z nich (t.j. John) má opäť číslo 91. V tomto prípade je John a Joe jeden a ten istý človek.
Ak teraz skúsime vojakov ľubovoľne poprehadzovať, zistíme, že v každom rozostavení je buď John vyšší (prípadne rovnako vysoký) ako Joe, alebo je to jeden a ten istý človek. Nikdy sa nám nepodarí rozostaviť vojakov tak, aby bol Joe vyšší ako John.
Lenže na to, aby sme mohli s istotou tvrdiť, že John je určite vyšší alebo rovnako vysoký ako Joe, by sme museli buď vyskúšať všetky možnosti (dúfame, že to nijaký čitateľ neskúšal), alebo nejako inak nahliadnuť, že to vždy dopadne práve takto. V prípade, že je takéto nahliadnutie naozaj vodotesné, nazývajú ho matematici „matematickým dôkazom“.
Ako by mohol vyzerať matematický dôkaz v našom prípade? Napríklad takto: Všimnime si vojaka, stojaceho v rovnakom rade ako Joe a zároveň v rovnakom zástupe ako John. Nech sa volá Barack. Zo zadania úlohy je jasné, že John je vyšší (nanajvýš rovnako vysoký) ako Barack, a zároveň, že Barack je vyšší (nanajvýš rovnako vysoký) ako Joe. No ale z toho už jednoznačne vyplýva, že John je vyšší (nanajvýš rovnako vysoký) ako Joe.
Krása matematických dôkazov spočíva práve v tom, že nám často na základe nejakého viac či menej nečakaného nápadu, umožnia jednoduchý vhľad do zložito vyzerajúcich vecí. .otázka na tento týždeň
Začínajú sa prázdniny, hromadne sa hrnieme k moru, takže skúsme jednu plážovú: Koľko (približne) zrniek piesku je na všetkých plážach zemegule?
Sto vojakov stojí v štvorcovom útvare, t. j. v desiatich radoch po desať vojakov. Z každého radu sa vyberie najnižší vojak a z týchto desiatich sa vyberie ten najvyšší. Nech sa volá Joe (ide o US army). Zároveň sa z každého zástupu vyberie najvyšší vojak a z týchto desiatich sa vyberie ten najnižší. Nech sa volá John. Kto je vyšší, Joe alebo John? .odpoveď
V prvom rade si vyjasnime, že Joe a John môžu byť v princípe jeden a ten istý človek (ktorý sa volá, napríklad, John Joseph Littlewood). Existuje také rozostavenie vojakov, že ide naozaj o toho istého človeka? Áno, existuje.
Očíslujme vojakov od najmenšieho po najväčšieho číslami od 1 do 100. Potom ich rozostavme napríklad tak, že v prvom rade budú stáť zľava doprava postupne vojaci s číslami 1 až 10, v druhom rade zľava doprava vojaci s číslami 11 až 20 atď. Najnižší vojaci z jednotlivých radov majú čísla 1, 11, 21, ... a najvyšší z nich (t.j. Joe) má číslo 91. Najvyšší vojaci v jednotlivých zástupoch majú čísla 91, 92, 93, ... a najnižší z nich (t.j. John) má opäť číslo 91. V tomto prípade je John a Joe jeden a ten istý človek.
Ak teraz skúsime vojakov ľubovoľne poprehadzovať, zistíme, že v každom rozostavení je buď John vyšší (prípadne rovnako vysoký) ako Joe, alebo je to jeden a ten istý človek. Nikdy sa nám nepodarí rozostaviť vojakov tak, aby bol Joe vyšší ako John.
Lenže na to, aby sme mohli s istotou tvrdiť, že John je určite vyšší alebo rovnako vysoký ako Joe, by sme museli buď vyskúšať všetky možnosti (dúfame, že to nijaký čitateľ neskúšal), alebo nejako inak nahliadnuť, že to vždy dopadne práve takto. V prípade, že je takéto nahliadnutie naozaj vodotesné, nazývajú ho matematici „matematickým dôkazom“.
Ako by mohol vyzerať matematický dôkaz v našom prípade? Napríklad takto: Všimnime si vojaka, stojaceho v rovnakom rade ako Joe a zároveň v rovnakom zástupe ako John. Nech sa volá Barack. Zo zadania úlohy je jasné, že John je vyšší (nanajvýš rovnako vysoký) ako Barack, a zároveň, že Barack je vyšší (nanajvýš rovnako vysoký) ako Joe. No ale z toho už jednoznačne vyplýva, že John je vyšší (nanajvýš rovnako vysoký) ako Joe.
Krása matematických dôkazov spočíva práve v tom, že nám často na základe nejakého viac či menej nečakaného nápadu, umožnia jednoduchý vhľad do zložito vyzerajúcich vecí. .otázka na tento týždeň
Začínajú sa prázdniny, hromadne sa hrnieme k moru, takže skúsme jednu plážovú: Koľko (približne) zrniek piesku je na všetkých plážach zemegule?
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.