.otázka z minulého týždňa
Tabuľka čokolády sa skladá zo štyridsiatich štvorčekov, ktoré tvorí päť radov po ôsmich štvorčekoch.Čokoládu môžeme rozlomiť na dve časti pozdĺž horizonálnej alebo vertikálnej čiary oddeľujúcej jednotlivé štvorčeky. Vzniknuté kusy môžeme opäť rozlomiť na dve časti podĺž týchto čiar, atď. Koľko najmenej rozlomení potrebujeme, aby sme čokoládu rozdelili na jednotlivé štvorčeky? (Zakaždým rozlamujeme len jeden kus, t. j. nemôžeme na seba položiť dva kusy čokolády a rozlomiť ich naraz.) .odpoveď
Skúsme začať nejakým konkrétnym postupom. Napríklad tak, že čokoládu rozlomíme najprv pozdĺž dlhších čiar (štyri rozlomenia), čím dostaneme päť pásikov po osem štvorčekov, a tieto potom porozlamujeme na jednotlivé štvorčeky (päť krát sedem rozlomení). Týmto postupom sa nám podarí získať jednotlivé štvorčeky pomocou 4 + 5 ×7 = 39 rozlomení.
Dá sa tento postup nejako vylepšiť? Skúsme ešte jeden konkrétny postup, napríklad taký, že čokoládu najprv rozlomíme pozdĺž kratších čiar (sedem rozlomení), čím dostaneme osem pásikov po päť štvrčekov, a tie potom porozlamujeme na jednotlivé štvorčeky (osem krát štyri rozlomení). Týmto postupom sa nám podarí získať jednotlivé štvorčeky znova pomocou 7 + 8×4 = 39 ozlomení.
Rovnako to dopadne aj pri každom inom pokuse, takže začneme šípiť, že nech to robíme akokoľvek, vždy budeme potrebovať 39 rozlomení. Lenže, ako dokázať, že je to naozaj tak?
Mnohé matematické dôkazy sú založené na tom, že sa na celú vec dokážeme pozrieť z nejakej inej perspektívy, z ktorej sa zrazu celá vec javí v celkom novom svetle. V tomto prípade je najrýchlejšou cestou k dôkazu prestať si všímať čiary, pozdĺž ktorých rozlamujeme, a namiesto nich si všimnúť počet častí, na ktoré je čokoláda rozlámaná. Každým rozlomením sa zvýši počet týchto častí o jednu. Na začiatku máme jeden kus, po prvom rozlomení dva kusy, po druhom rozlomení tri kusy, atď. Štyridsať kusov budeme mať po tridsiatom deviatom rozlomení. Hotovo. .otázka na budúci týždeň
Dáša Nováková a Stáňa Poláková išli autom navštíviť kamarátku Procházkovú. Tá však nebola doma, a tak sa okamžite vrátili tou istou cestou domov. K Procházkovej išli rýchlosťou 60 km/h, späť rýchlosťou 100 km/h. Aká bola ich priemerná rýchlosť?
Tabuľka čokolády sa skladá zo štyridsiatich štvorčekov, ktoré tvorí päť radov po ôsmich štvorčekoch.Čokoládu môžeme rozlomiť na dve časti pozdĺž horizonálnej alebo vertikálnej čiary oddeľujúcej jednotlivé štvorčeky. Vzniknuté kusy môžeme opäť rozlomiť na dve časti podĺž týchto čiar, atď. Koľko najmenej rozlomení potrebujeme, aby sme čokoládu rozdelili na jednotlivé štvorčeky? (Zakaždým rozlamujeme len jeden kus, t. j. nemôžeme na seba položiť dva kusy čokolády a rozlomiť ich naraz.) .odpoveď
Skúsme začať nejakým konkrétnym postupom. Napríklad tak, že čokoládu rozlomíme najprv pozdĺž dlhších čiar (štyri rozlomenia), čím dostaneme päť pásikov po osem štvorčekov, a tieto potom porozlamujeme na jednotlivé štvorčeky (päť krát sedem rozlomení). Týmto postupom sa nám podarí získať jednotlivé štvorčeky pomocou 4 + 5 ×7 = 39 rozlomení.
Dá sa tento postup nejako vylepšiť? Skúsme ešte jeden konkrétny postup, napríklad taký, že čokoládu najprv rozlomíme pozdĺž kratších čiar (sedem rozlomení), čím dostaneme osem pásikov po päť štvrčekov, a tie potom porozlamujeme na jednotlivé štvorčeky (osem krát štyri rozlomení). Týmto postupom sa nám podarí získať jednotlivé štvorčeky znova pomocou 7 + 8×4 = 39 ozlomení.
Rovnako to dopadne aj pri každom inom pokuse, takže začneme šípiť, že nech to robíme akokoľvek, vždy budeme potrebovať 39 rozlomení. Lenže, ako dokázať, že je to naozaj tak?
Mnohé matematické dôkazy sú založené na tom, že sa na celú vec dokážeme pozrieť z nejakej inej perspektívy, z ktorej sa zrazu celá vec javí v celkom novom svetle. V tomto prípade je najrýchlejšou cestou k dôkazu prestať si všímať čiary, pozdĺž ktorých rozlamujeme, a namiesto nich si všimnúť počet častí, na ktoré je čokoláda rozlámaná. Každým rozlomením sa zvýši počet týchto častí o jednu. Na začiatku máme jeden kus, po prvom rozlomení dva kusy, po druhom rozlomení tri kusy, atď. Štyridsať kusov budeme mať po tridsiatom deviatom rozlomení. Hotovo. .otázka na budúci týždeň
Dáša Nováková a Stáňa Poláková išli autom navštíviť kamarátku Procházkovú. Tá však nebola doma, a tak sa okamžite vrátili tou istou cestou domov. K Procházkovej išli rýchlosťou 60 km/h, späť rýchlosťou 100 km/h. Aká bola ich priemerná rýchlosť?
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.