.otázka z minulého týždňa
Z dvoch miest vzdialených od seba 10 km vyrazili proti sebe dvaja turisti, každý z nich rýchlosťou 5 km/h. Z prvého miesta vyrazila súčasne s turistom aj jedna mimoriadne usilovná včela, ktorá sa z neznámych dôvodov baví tak, že letí na proti druhému turistovi, keď sa s ním stret ne, tak sa otočí a letí späť, keď sa stretne s prvým turistom, znova sa otočí atď. Včela lieta rýchlosťou 15 km/h. Koľko má nalieta né v momente, keď sa turisti stretnú? .odpoveď
Pôvab tejto pomerne známej úlohy spočíva v existencii dvoch rôznych prístupov k riešeniu, z ktorých jeden je zdanlivo prirodzený, ale odstrašujúco zložitý, a druhý je oveľa jednoduchší a v konečnom dôsledku aj prirodzenejší.
Začneme tým zložitejším prístupom. Najprv vypočítame, koľko mala včela preletené v momente, keď sa stretla s druhým turistom. Keďže sa pohybovala trikrát rýchlejšie ako on, prešla 3/4 celkovej vzdialenosti, zatiaľ čo on len 1/4.
Keď sa včela otočila, mala pred sebou prvého turistu vzdialeného už len polovicu pôvod nej vzdialenosti (pretože aj on prešiel za ten čas 1/4 pôvodnej vzdialenosti). Koľ ko z tejto vzdialenosti preletela, kým opäť stretla prvého turistu?
Na základe rovnakej úvahy ako v prvom kroku dospejeme aj v tomto prípade k záveru, že preletela 3/4 z tejto vzdialenosti. A takto môžeme pokračovať postupne ďalej a ďalej, čím dostaneme nekonečný súčet (3/4 + 3/4 1/2 + ...) × 10 km. Naozaj dosť odstrašujúce, a to ešte nehovoríme o tom, že ak by sme sa takto chceli dopracovať k výsledku, museli by sme ešte vedieť sčítať nekonečne veľa čísiel, čo tiež nie je úplne triviálne.
Takže to by bolo to prirodzené, ale odstrašujúco zložité riešenie. A teraz to jednoduché, elegantné, vtipné a krásne riešenie: Turisti sa stretli v momente, keď každý z nich prešiel polovicu pôvodnej vzdialenosti, t. j. po jednej hodine. Včela teda lietala jednu hodinu rýchlosťou 15 km/h. Čiže preletela 15 kilometrov. .otázka na budúci týždeň
Jazdca postavíme do rohu šachovnice. Môžeme tohto jazdca premiestniť (v súlade s pravidlami) do protiľahlého rohu tak, aby sa pri presune ocitol na každom poli práve raz?
Z dvoch miest vzdialených od seba 10 km vyrazili proti sebe dvaja turisti, každý z nich rýchlosťou 5 km/h. Z prvého miesta vyrazila súčasne s turistom aj jedna mimoriadne usilovná včela, ktorá sa z neznámych dôvodov baví tak, že letí na proti druhému turistovi, keď sa s ním stret ne, tak sa otočí a letí späť, keď sa stretne s prvým turistom, znova sa otočí atď. Včela lieta rýchlosťou 15 km/h. Koľko má nalieta né v momente, keď sa turisti stretnú? .odpoveď
Pôvab tejto pomerne známej úlohy spočíva v existencii dvoch rôznych prístupov k riešeniu, z ktorých jeden je zdanlivo prirodzený, ale odstrašujúco zložitý, a druhý je oveľa jednoduchší a v konečnom dôsledku aj prirodzenejší.
Začneme tým zložitejším prístupom. Najprv vypočítame, koľko mala včela preletené v momente, keď sa stretla s druhým turistom. Keďže sa pohybovala trikrát rýchlejšie ako on, prešla 3/4 celkovej vzdialenosti, zatiaľ čo on len 1/4.
Keď sa včela otočila, mala pred sebou prvého turistu vzdialeného už len polovicu pôvod nej vzdialenosti (pretože aj on prešiel za ten čas 1/4 pôvodnej vzdialenosti). Koľ ko z tejto vzdialenosti preletela, kým opäť stretla prvého turistu?
Na základe rovnakej úvahy ako v prvom kroku dospejeme aj v tomto prípade k záveru, že preletela 3/4 z tejto vzdialenosti. A takto môžeme pokračovať postupne ďalej a ďalej, čím dostaneme nekonečný súčet (3/4 + 3/4 1/2 + ...) × 10 km. Naozaj dosť odstrašujúce, a to ešte nehovoríme o tom, že ak by sme sa takto chceli dopracovať k výsledku, museli by sme ešte vedieť sčítať nekonečne veľa čísiel, čo tiež nie je úplne triviálne.
Takže to by bolo to prirodzené, ale odstrašujúco zložité riešenie. A teraz to jednoduché, elegantné, vtipné a krásne riešenie: Turisti sa stretli v momente, keď každý z nich prešiel polovicu pôvodnej vzdialenosti, t. j. po jednej hodine. Včela teda lietala jednu hodinu rýchlosťou 15 km/h. Čiže preletela 15 kilometrov. .otázka na budúci týždeň
Jazdca postavíme do rohu šachovnice. Môžeme tohto jazdca premiestniť (v súlade s pravidlami) do protiľahlého rohu tak, aby sa pri presune ocitol na každom poli práve raz?
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.